Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ядро або ядрова функція — це вагова функція , що використовується в непараметричних методах оцінки. Ядра використовуються при ядерній оцінці щільності розподілу для оцінки густини випадкової величини , чи в ядерній регресії для оцінки умовного математичного сподівання випадкової величини. Ядра також використовуються в часових рядах як переіодограми для оцінки спектральної щільності . Додаткового використання ядра набули в оцінці інтенсивності точкового процесу зміної в часі.
Ядром називається невід'ємна дійснозначна інтегровна функція K , яка задовольняє дві наступні властивості:
∫
−
∞
+
∞
K
(
u
)
d
u
=
1
;
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;}
K
(
−
u
)
=
K
(
u
)
∀
u
.
{\displaystyle K(-u)=K(u)\ \forall \ u\,.}
Перша умова гарантує, що метод ядерної оцінки щільності розподілу дійсно дає густину випадкової величини. Друга — гарантує, що середнє значення знайденого розподілу дорівнює середньому значенню вибірки для якої оцінюють густину.
Якщо K — ядро, тоді функція K * визначена таким чином K *(u ) = λ−1 K (λ−1 u ), де λ > 0 також є ядерною функцією. Цю властивість можна використати для вибору масштабу максимально узгодженого з даними.
Звичайно використовують кілька видів ядрових функцій: рівномірну, трикутну, Епанечнікова, Четвертинну (двоточкову), кубічну (триточкову), Гауса та косинусну.
В таблиці нижче, 1 {…} — характеристична функція .
Ядрові функції, K (u )
∫
u
2
K
(
u
)
d
u
{\displaystyle \textstyle \int u^{2}K(u)du}
∫
K
2
(
u
)
d
u
{\displaystyle \textstyle \int K^{2}(u)du}
Рівномірна
K
(
u
)
=
1
2
1
{
|
u
|
≤
1
}
{\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Трикутна
K
(
u
)
=
(
1
−
|
u
|
)
1
{
|
u
|
≤
1
}
{\displaystyle K(u)=(1-|u|)\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
Епанечнікова
K
(
u
)
=
3
4
(
1
−
u
2
)
1
{
|
u
|
≤
1
}
{\displaystyle K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}
1
5
{\displaystyle {\frac {1}{5}}}
3
5
{\displaystyle {\frac {3}{5}}}
Четвертинна
K
(
u
)
=
15
16
(
1
−
u
2
)
2
1
{
|
u
|
≤
1
}
{\displaystyle K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
5
7
{\displaystyle {\frac {5}{7}}}
Кубічна
K
(
u
)
=
35
32
(
1
−
u
2
)
3
1
{
|
u
|
≤
1
}
{\displaystyle K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}
1
9
{\displaystyle {\frac {1}{9}}}
350
429
{\displaystyle {\frac {350}{429}}}
Гауса
K
(
u
)
=
1
2
π
e
−
1
2
u
2
{\displaystyle K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}}
1
{\displaystyle 1\,}
1
2
π
{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}}
Косинус
K
(
u
)
=
π
4
cos
(
π
2
u
)
1
{
|
u
|
≤
1
}
{\displaystyle K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}
1
−
8
π
2
{\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}
π
2
16
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}}
Логістичне
K
(
u
)
=
1
e
u
+
2
+
e
−
u
{\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u}}}}
π
2
3
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
Сигмоїда
K
(
u
)
=
2
π
1
e
u
+
e
−
u
{\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u}}}}
π
2
4
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}}
2
π
2
{\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}}
Ядро Сільвермана[1]
K
(
u
)
=
1
2
e
−
|
u
|
2
⋅
sin
(
|
u
|
2
+
π
4
)
{\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|u|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac {|u|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}
0
{\displaystyle 0}
3
2
16
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}}
Графіки вищенаведених функцій
↑ Silverman, B. W. (1986). Density Estimation for Statistics and Data Analysis . Chapman and Hall, London.
Li, Qi; Racine, Jeffrey S. (2007). Nonparametric Econometrics: Theory and Practice . Princeton University Press. ISBN 0691121613 
