Завдяки їх властивостям симетрії користуватися 3j-символами значно зручніше, ніж коефіцієнтами Клебша — Ґордана.
3j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо парної кількості перестановок його стовпчиків:
В той час як непарна кількість перестановок його стовпчиків додає фазовий множник, який в залежності від суми j1+j2+j3 може приймати значення 1 чи -1
Зміна знаку на протилежний біля усіх квантових чисел додає такий же фазовий множник:
Явний вираз для обчислення 3j-символу є досить громіздким й може бути записаний так:[1]
де знак ! вказує на факторіал числа, а сумування проводиться по всім цілим k. Але оскільки факторіал від'ємного числа дорівнює , то маємо скінченне число членів суми.
Формули для 3j-символів для простих випадків[1][ред. | ред. код]
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
E. P. Wigner, "On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups", unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).
Moshinsky, Marcos (1962). Wigner coefficients for the SU3 group and some applications. Rev. Mod. Phys. 34 (4): 813. doi:10.1103/RevModPhys.34.813.
Horie, Hisashi (1964). Representations of the symmetric group and the fractional parentage coefficients. J. Phys. Soc. Jpn. 19: 1783. doi:10.1143/JPSJ.19.1783.
P. McNamee, S. J.; Chilton, Frank; Chilton, Frank (1964). Tables of Clebsch-Gordan coefficients of SU3. Rev. Mod. Phys. 36 (4): 1005. doi:10.1103/RevModPhys.36.1005.
Hecht, K. T. (1965). SU3 recoupling and fractional parentage in the 2s-1d shell. Nucl. Phys. 62 (1): 1. doi:10.1016/0029-5582(65)90068-4.
Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). Unitary groups: representations and decompositions. Rev. Mod. Phys. 38 (1): 95. doi:10.1103/RevModPhys.38.95.
Kramer, P. (1967). Orbital fractional parentage coefficients for the harmonic oscillator shell model. Z. Physik. 205 (2): 181. doi:10.1007/BF01333370.
Kramer, P. (1968). Recoupling coefficients of the symmetric group for shell and cluster model configurations. Z. Physik. 216 (1): 68. doi:10.1007/BF01380094.
Lezuo, K. J. (1972). The symmetric group and the Gel'fand basis of U(3). Generalizations of the Dirac identity. J. Math. Phys. 13 (9): 1389. doi:10.1063/1.1666151.
Draayer, J. P.; Akiyama, Yoshimi (1973). Wigner and Racah coefficients for SU3. J. Math. Phys. 14 (12): 1904. doi:10.1063/1.1666267.
Akiyama, Yoshimi; Draayer, J. P. (1973). A users' guide to fortran programs for Wigner and Racah coefficients of SU3. Comp. Phys. Comm. 5: 405. doi:10.1016/0010-4655(73)90077-5.
Paldus, Josef (1974). Group theoretical approach to the configuration interaction and perturbation theory calculations for atomic and molecular systems. J. Chem. Phys. 61 (12): 5321. doi:10.1063/1.1681883.
Haacke, E. M.; Moffat, J. W.; Savaria, P. (1976). A calculation of SU(4) Glebsch-Gordan coefficients. J. Math. Phys. 17 (11): 2041. doi:10.1063/1.522843.
Paldus, Josef (1976). Unitary-group approach to the many-electron correlation problem: Relation of Gelfand and Weyl tableau formulations. Phys. Rev. A. 14 (5): 1620. doi:10.1103/PhysRevA.14.1620.
Bickerstaff, R. P.; Butler, P. H.; Butts, M. B.; Haase, R. w.; Reid, M. F. (1982). 3jm and 6j tables for some bases of SU6 and SU3. J. Phys. A. 15: 1087. doi:10.1088/0305-4470/15/4/014.
Sarma, C. R.; Sahasrabudhe, G. G. (1980). Permutational symmetry of many particle states. J. Math. Phys. 21 (4): 638. doi:10.1063/1.524509.
Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan (1982). A new approach to permutation group representation. J. Math. Phys. 23: 928. doi:10.1063/1.525460.
Sarma, C. R.; Sarma (1982). Determination of basis for the irreducible representations of the unitary group for U(p+q)↓U(p)×U(q). J. Math. Phys. 23 (7): 1235. doi:10.1063/1.525507.
Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). The Gel'fand basis and matrix elements of the graded unitary group U(m/n). J. Phys. A. 16 (15): 3435. doi:10.1088/0305-4470/16/15/010.
Nikam, R. S.; Dinesha, K. V.; Sarma, C. R. (1983). Reduction of inner-product representations of unitary groups. J. Math. Phys. 24 (2): 233. doi:10.1063/1.525698.
Chen, Jin-Quan; Collinson, David F.; Gao, Mei-Juan (1983). Transformation coefficients of permutation groups. J. Math. Phys. 24: 2695. doi:10.1063/1.525668.
Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan; Chen, Xuan-Gen (1984). The Clebsch-Gordan coefficient for SU(m/n) Gel'fand basis. J. Phys. A. 17 (3): 481. doi:10.1088/0305-4470/17/3/011.