Геометрична скінченність

У геометрiї групу iзометрiй гiперболiчного простору називають геометрично скiнченною, якщо вона має коректну фундаментальну область. Гiперболiчний многовид називається геометрично скiнченним, якщо його можна описати в термiнах геометрично скiнченних груп.

Геометрично скінченні многогранники

Опуклий многогранник $C$ у гіперболічному просторі називається геометрично скінченним, якщо його замикання ${\overline {C}}$ у конформній компактифікації гіперболічного простору має наступну властивість:

• Для будь-якої точки $x$ в ${\overline {C}}$ існує окіл $U$ точки $x$ такий, що всі грані ${\overline {C}}$, що перетинаються з $U$, також проходять через $x$.

Наприклад, будь-який многогранник зі скінченною кількістю граней геометрично скінченний. У гіперболічному просторі розмірності не більше $2$ будь-який геометрично скінченний многогранник має скінченну кількість сторін, але є геометрично скінченні многогранники у розмірності $3$ і вище з нескінченною кількістю сторін. Наприклад, в евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ розмірності $n\geq 2$ є многогранник $P$ з нескінченною кількістю сторін. Модель верхньої напівплощини $(n+1)$-вимірного гіперболічного простору в $\mathbb {R} ^{n+1}$ проектується на $\mathbb {R} ^{n}$, а обернений образ многогранника $P$ при цій проекції є геометрично скінченним многогранником з нескінченною кількістю сторін.

Геометрично скінченний многогранник має лише скінченну кількість вершин, і всі сторони, крім скінченної кількості, перетинаються в одній з вершин.

Геометрично скінченні групи

Дискретна група $G$ ізометрій гіперболічного простору називається геометрично скінченною, якщо вона має фундаментальну область $C$, яка є опуклою, геометрично скінченною та точною (будь-яка грань є перетином $C$ і $gC$ для деякого $g\in {G}$).

У гіперболічних просторах розмірності не більше $3$ кожен точний, опуклий фундаментальний многогранник для геометрично скінченних групи має лише скінченну кількість сторін, але у розмірності $4$ і вище існують приклади многогранників з нескінченною кількістю сторін.

У гіперболічних просторах розмірності не більше $2$ скінченно породжені дискретні групи є геометрично скінченними, але Грінберг (1966) показав, що існують приклади скінченно породжених дискретних груп у розмірності $3$, які не є геометрично скінченними.

Геометрично скінченні многовиди

Гіперболічний многовид називається геометрично скінченними, якщо він має скінченну кількість компонентів, кожен з яких є гіперболічним фактор-простором за геометрично скінченною дискретною групою ізометрій.

Література

• Greenberg, L. (1966), Fundamental polyhedra for kleinian groups, Annals of Mathematics, Second Series, 84: 433—441, doi:10.2307/1970456, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970456, MR 0200446
• Ratcliffe, John G. (1994), Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94348-0