Група (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гру́па — одне із найважливіших понять сучасної алгебри, яке має численні застосування у більшості суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із операцією множення (композиції), що задовільняє певним аксіомам (асоціативності, існування нейтрального та оберненого елемента)[1]. У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описувати симетрії різного ґатунку або як групи перетворень.

Означення[ред.ред. код]

Групою називається множина G, на якій визначено бінарну операцію G \times G \to G, що зазвичай називають множенням і позначають (a,b) \to a \cdot b або \ (a,b) \to ab, і має такі властивості:

  • Асоціативність: для довільних елементів a, b, c групи G виконується рівність \ a(bc) = (ab)c
  • Існування нейтрального елемента: існує елемент e такий, що для кожного елемента a групи G виконується \ ea=ae=a
  • Існування оберненого елемента: для кожного елемента a групи існує елемент a^{-1} такий, що a^{-1}a=aa^{-1}=e.

Операція множення в групі не обов'язково є комутативною.

Таким чином, група є моноїдом, у якому для кожного елемента існує обернений.

Властивості абстрактних груп вивчаються в теорії груп. Провідну роль у геометрії, зокрема в диференціальній геометрії і топології, відіграють дії груп на різноманітних просторах (див. також групи перетворень).

Абелеві групи і адитивні групи[ред.ред. код]

Група  G називається комутативною або абелевою (на честь норвезьського математика Нільса Генріха Абеля), якщо додатково виконується тотожність

ab=ba \quad \forall a,b\in G (закон комутативності).

Групову операцію в комутативній групі часто записують як додавання (звичайне додавання дійсних чисел чи векторів є прикладом групової операції). У такому випадку змінюється позначення  a \cdot b на a + b. Роль нейтрального елемента e відіграє нульовий елемент 0, що задовольняє тотожності:

0 + a = a \quad \forall a \in G.

Роль оберненого елемента a^{-1} відіграє протилежний елемент -a, що задовольняє тотожності:

(-a) + a = a + (-a) = 0 \quad \forall a \in G.

Приклади груп[ред.ред. код]

  1. \{\Z, +\} — адитивна група цілих чисел, зі звичайними додаванням +, нульовим елементом  0 і протилежним елементом -a. Так само утворюють адитивні групи всі раціональні, дійсні та комплексні числа. З іншого боку, натуральні числа \N не утворюють групи, тому що якщо  a\in\N, -a\notin \N .
  2. Для будь-якого натурального N, залишки по модулю N утворюють скінчену адитивну групу з N елементів, циклічну групу порядку N.
  3.  S_n (n=1,2,3,\ldots) , група перестановок n-елементної множини. Операція — це композиція перестановок. Ця група — некомутативна при  n\geq 3 і нерозв'язна при  n\geq 5 . За теорією Галуа, з цього випливає нерозв'язність загального алгебраїчного рівняння степеня n\geq 5.
  4. Ненульові кватерніони  \mathbb{H}^*=\mathbb{H}\setminus\{0\} .
  5.  GL_n(\R) , група  n\times n квадратних матриць з дійсними елементами і ненульовим визначником. Операція — це добуток матриць, нейтральний елемент — одинична матриця. Взагалі, можна розглянути матриці над довільним полем замість \R. З іншого боку, всі  n\times n матриці не утворюють групу за множенням, тому що нульова матриця не має оберненої.
  6.  SL_n(\R) , група  n\times n матриць з дійсними елементами і визначником  1 . Ця група є підгрупою групи  GL_n(\mathbb{R}) з попереднього прикладу.
  7. Групи  \mathbb{H}^*,GL_n(\R), SL_n(\R)  — то топологічні групи і групи Лі. Останні дві групи діють на векторному просторі \R^n звичайним множенням n\times n матриць і n\times 1 векторів.
  8. Група поворотів і їх комбінацій Кубика Рубика.

Групи із додатковою структурою[ред.ред. код]

Якщо група G є топологічним простором, а операції множення і взяття оберненого — неперервні відображення, то G — це топологічна група.

Якщо G має структуру многовиду і групові операції сумісні з цією структурою (є гладкими), тоді G називають групою Лі (раніше — неперервною групою), на честь норвезького математика Софуса Лі, який розпочав їх дослідження.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). «12.2-1». Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 

Література[ред.ред. код]