Копула

У статистиці, копула або зв'язка використовується як загальний метод формулювання сукупного розподілу випадкових величин таким чином, що можна зобразити різні загальні типи залежності.

Нехай $X_{1}$ і $X_{2}$ — випадкові величини, функції розподілу імовірності яких визначені на множинах $A$ і $B$, відповідно. Будемо позначати і-у реалізацію j-ої випадкової величини як $x_{j}(i)$. Спочатку будемо називати функцію $C(X_{1},X_{2})$ зростаючою за кожною змінною $X_{1}$ і $X_{2}$ , якщо для неї виконується наступна умова: $C(x_{1}(2),x_{2}(2))+C(x_{1}(1),x_{2}(1))-C(x_{1}(2),x_{2}(1))-C(x_{1}(1),x_{2}(2))\geq 0$, коли $x_{j}(1)\leq x_{j}(2)$; Визначимо пiдкопулу $C(X_{1},X_{2})$ як двовимірну функцію від двох змінних $X_{1}$ і $X_{2}$ , визначену на такій множині $A\hbar B$ , що $A\in [0;1]$ і $B\in [0;1]$ , з областю значень $[0;1]$ і задовольняючу наступним умовам:
1. Обмеження знизу, тобто $C(X_{1},X_{2})=0$ , якщо $\exists i:X_{i}=0$ ;
2. $C(X_{1},X_{2})=X_{i}$ , якщо $\forall \neq i:X_{j}=1$ ;
3. Зростання за кожною змінною;

Копула - це підкопула у разі, коли $A=[0;1]$ і $B=[0;1]$ . Саме на даному етапі можливо застосувати копули до моделювання спільних вірогідних розподілів, оскільки імовірність будь-якої випадкової величини також належить відрізку від нуля до одиниці.

Властивості копул:

1. Обмеженість: $0\leq C(x_{1},...,x_{k})\geq 1$;
2. Будь-яка копула лежить у границях Фреше-Хефдинга (Frechet-Hoeffdіng): $Max(0,x_{1}+x_{2}-1)\geq C(x_{1},x_{2})\geq Min(x_{1},x_{2})$
3. Упорядкованість (домінування). Копула $C_{1}$ домінує над копулой $C_{2}$ у випадку, коли для$\forall x_{1},...,x_{2}$ вірно $C_{1}(x_{1},...,x_{k})\geq C_{2}(x_{1},...,x_{k})$;
4. $C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,$;
5. $C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.$

Методи оцінки копул і виміру якості копула-моделей

Параметричні (MLE, ІFM)

Даний клас методів припускає параметризацію як часткових розподілів, так і копули. Якщо базовий підхід MLE (Maxіmum Lіkelіhood Estіmatіon) припускає максимізацію функції правдоподібності одночасно по маргінальних розподілах і по копуле, то метод "від маргиналов" (Іnference for Margіn - ІFM) припускає два етапи оцінки: спочатку - параметризація маргиналов, потім - копули.

Напівпараметричні (SP, CML)

Напівпараметричні методи також припускають двухэтапную оцінку копули. Але на першому етапі замість оцінки маргиналов використовується емпіричний розподіл. На другому ж етапі відбувається параметрична оцінка копули. У роботі [Kіm G., Sіlvapulle M., Sіlvapulle P. (2007)] показано, що напівпараметричний метод (SP - semі-parametrіc) дає більш заможні і стійкий (робастные) оцінки, чим параметричні методи у випадках, коли вид приватного розподілу не відомий і, як наслідок, виникає погроза їхньої невірної специфікації.

Непараметричні

Серед непараметричних методів оцінки копул можна виділити підходи на основі оцінки емпіричної копулы і ядерних оцінок. Перший підхід припускає оцінки функції розподілу емпіричної копули( ), що відбиває кількість випадків, коли исходы випадкових величин одночасно потрапили в обраний осередок сітки розбивки всієї безлічі вероятностного простору (докладніше див. [Nelsen (2006), p. 219]).

Вимір якості оцінки копули

Найбільш розповсюдженим критерієм вибору оптимальної копулиє критерій на основі значення функції максимальної правдоподібності - критерії Акаике (AІ) і Шварца (BІ). Другими за частототою застосування є тести Колмогорова-Смирнова й Андерсона-Дарлинга. Третім є метод оцінки дистанції до емпіричної копули.

Границі Фреше для копули

Мінімальна копула - це нижня границя для всіх копул, тільки в двовимірному випадку відповідає строго негативної кореляції між випадковими величинами:

$M(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).$

Максимальна копула - це верхня границя для всіх копул, відповідає строго позитивної кореляції між випадковими величинами:

$W(x,\;y)=\min(x,\;y).$

Архімедові копули

Одна часткова проста форма копули:

$H(x,\;y)=\Psi ^{-1}(\Psi (F(x))+\Psi (G(y))),$

де $\psi$ називається функція-генератор. Такі копули називаються архімедяними. Кожна функція-генератор, що задовольняє приведеним нижче властивостям є основою для правильної копули:

$\Psi (1)=0;\quad \lim _{x\to 0}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x)>0.$

Копула-произведение, також називана незалежної копулой, - це копула, що не має залежностей між перемінними, її функція щільності завжди дорівнює одиниці.

$\Psi (x)=-\ln(x);\quad H(x,\;y)=xy.$

Копула Клейтона (Clayton):

$\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad H(x,\;y)=(F(x)^{\theta }+G(y)^{\theta }-1)^{1/\theta }.$

Для $\theta =0$ <!-iwas +1, can't be rіght! -i> у копуле Клейтона, випадкові величини статистично незалежні.

Підхід, заснований на функціях-генераторах, може бути розповсюджений для створення багатомірних копул за допомогою простого додавання перемінних.

Емпірична копула

При аналізі даних з невідомим розподілом, можна побудувати "емпіричну копулу" шляхом такий згортки, щоб маргінальні розподіли вийшли рівномірними. Математично це можна записати так:

$C_{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot$ Число пар $(x,y)$ таких що $x\leq x_{(i)}{\text{ i }}y\leq y_{(j)}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n$

де x_(і) -представляє і-а порядкова статистика x.

Застосування

Моделювання залежностей за допомогою копул широко використовується для оцінювання фінансових ризиків. Крім того, копули також застосовувалися до інших страхових задач як гнучкий інструмент.

Нещодавно копули були успішно використані для формування бази даних для аналізу надійності мостів і для різноманітних моделювань з багатьма змінними в цивільному, механічному і машинобудуванні.