Адіабатичний інваріант

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Адіабатичний інваріант — величина, що не міняється при плавній «адіабатичній» зміні параметру фізичної системи. Адіабатичність зміни параметру означає те, що характерний час цієї зміни набагато більший за характерний час процесів, які відбуваються в самій системі.

Класична механіка[ред.ред. код]

У класичній механічній системі, яка здійснює періодичний рух з періодом T і залежить від параметру  \lambda \, , адіабатичність зміни параметру визначається умовою

 T \frac{d\lambda}{dt} << \lambda .

Функція гамільтона системи залежить від її внутрішніх змінних та параметра

 \mathcal{H} = \mathcal{H}(q, p, t)

Внутрішні змінні q і p міняються з часом швидко, з періодом T. Але енергія системи E є інтергралом руху при незмінному параметрі. При зміні параметра

 \frac{dE}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt} .

При усередненні цього виразу по часу впродовж періоду можна вважати, що параметр  \lambda \, незмінний.

 \overline{\frac{dE}{dt}} = \frac{d\lambda}{dt} \overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}}  ,

де усереднення визначене як

 \overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}} = \frac{1}{T} \int\limits_0^T \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} dt .

Зручно перейти від інтегрування по часу до інтегрування по змінній q:

 dt = \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p} .

У такому випадку, період T дорівнює

 T = \oint \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p} ,

де інтегнування проводиться вперед і назад у межах зміни координати за період руху.

Записуючи імпульс, як функцію енергії E, координати q і параметра  \lambda \, , після деяких перетворень можна отримати

 \oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{\frac{\partial E}{\partial t}} + \frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt} \right) dq = 0 .

Остаточно, можна записати

 \overline{\frac{dI}{dt}} = 0 ,

де величина

 I = \frac{1}{2\pi} \oint pdq ,

і буде адіабатичним інваріантом. Інтеграл береться по траєкторії руху при заданих E та  \lambda \,

Властивості адіабатичного інваріанту[ред.ред. код]

Похідна від адіабатичного інваріанту по енергії дорівнює періоду, розділеному на  2\pi .

 2\pi \frac{\partial I}{dE} = T

або

 \frac{\partial E}{\partial I} = \omega ,

де  \omega \,  — циклічна частота.

Адіабатчний інваріант можна, також виразити через площу, визначеному замкнутою траєкторією, в фазовому просторі

 I = \frac{1}{2\pi} \int dp dq .

За допомогою канонічних перетворень можна зробити адіабатичний інваріант новою змінною, яка називається змінною дії. В новій системі змінних вона відіграє роль імпульсу. Канонічно спряжена до неї змінна називається кутовою змінною.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.