Адіабатичний інваріант

Адіабатичний інваріант — величина, що не міняється при плавній «адіабатичній» зміні параметру фізичної системи. Адіабатичність зміни параметру означає те, що характерний час цієї зміни набагато більший за характерний час процесів, які відбуваються в самій системі.

Класична механіка

У класичній механічній системі, яка здійснює періодичний рух з періодом T і залежить від параметру $\lambda \,$, адіабатичність зміни параметру визначається умовою

$T \frac{d\lambda}{dt} << \lambda$.

Функція гамільтона системи залежить від її внутрішніх змінних та параметра

$\mathcal{H} = \mathcal{H}(q, p, t)$

Внутрішні змінні q і p міняються з часом швидко, з періодом T. Але енергія системи E є інтергралом руху при незмінному параметрі. При зміні параметра

$\frac{dE}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt}$.

При усередненні цього виразу по часу впродовж періоду можна вважати, що параметр $\lambda \,$ незмінний.

$\overline{\frac{dE}{dt}} = \frac{d\lambda}{dt} \overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}}$,

де усереднення визначене як

$\overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}} = \frac{1}{T} \int\limits_0^T \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} dt$.

Зручно перейти від інтегрування по часу до інтегрування по змінній q:

$dt = \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p}$.

У такому випадку, період T дорівнює

$T = \oint \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p}$,

де інтегнування проводиться вперед і назад у межах зміни координати за період руху.

Записуючи імпульс, як функцію енергії E, координати q і параметра $\lambda \,$, після деяких перетворень можна отримати

$\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{\frac{\partial E}{\partial t}} + \frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt} \right) dq = 0$.

Остаточно, можна записати

$\overline{\frac{dI}{dt}} = 0$,

де величина

$I = \frac{1}{2\pi} \oint pdq$,

і буде адіабатичним інваріантом. Інтеграл береться по траєкторії руху при заданих E та $\lambda \,$

Властивості адіабатичного інваріанту

Похідна від адіабатичного інваріанту по енергії дорівнює періоду, розділеному на $2\pi$.

$2\pi \frac{\partial I}{dE} = T$

або

$\frac{\partial E}{\partial I} = \omega$,

де $\omega \,$ — циклічна частота.

Адіабатчний інваріант можна, також виразити через площу, визначеному замкнутою траєкторією, в фазовому просторі

$I = \frac{1}{2\pi} \int dp dq$.

За допомогою канонічних перетворень можна зробити адіабатичний інваріант новою змінною, яка називається змінною дії. В новій системі змінних вона відіграє роль імпульсу. Канонічно спряжена до неї змінна називається кутовою змінною.