Булева алгебра

Булева алгебра утворена
підмножинами множини {x,y,z}

Бу́лева а́лгебра — це алгебраїчна структура, що є доповненою дистрибутивнною ґраткою, та частина математики яка вивчає подібні структури.

Алгебра логіки — застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.

Формальне визначення

Булева алгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними операціями:

• $\land$ («meet», «булеве множення») — узагальнення кон'юнкції,
• $\lor$ («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції,

та унарною операцією:

• $\lnot a$ чи $\ \bar{a} \;$(«булеве доповнення») — узагальнення заперечення;

що задовільняють такі аксіоми:

$a \lor b = b \lor a,$	$a \land b = b \land a$	(комутативність)
$a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c,$	$a \land (b \land c) = (a \land b) \land c$	(асоціативність)
$(a \lor b) \land b = b,$	$(a \land b) \lor b = b$	(закон поглинання)
$a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c),$	$a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$	(дистрибутивність)
$(a \lor \bar{a}) \land b = b,$	$(a \land \bar{a}) \lor b = b$	(доповнення)

Аксіоми 1,2,3 визначають ґратку.

Аксіоми 1,2,3,4 визначають дистрибутивну ґратку.

Аксіоми 1,2,3,5 визначають доповнену ґратку.

З аксіом випливають такі теореми:

$a \lor a = a,$	$a \land a = a$	(ідемпотентність)
$a \lor \bar{a} = b \lor \bar{b},$	$a \land \bar{a} = b \land \bar{b}$

Тобто вирази $a \lor \bar{a}$ та $a \land \bar{a}$ не залежать від вибору елемента.

Елемент $a \lor \bar{a}$ називається булевою одиницею 1, елемент $a \land \bar{a}$ називається булевим нулем 0.

$a \lor 0 = a,$	$a \land 0 = 0$
$a \lor 1 = 1,$	$a \land 1 = a$
$\lnot 0 = 1,$	$\lnot 1 = 0$
$\lnot (a \lor b) = \lnot a \land \lnot b,$	$\lnot (a \land b) = \lnot a \lor \lnot b$	(правила де Моргана)
$\lnot \lnot a = a$.		(інволюція заперечення)

Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

1. x≤x (рефлективність)
2. якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)
3. якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.

Нехай S — підмножина елементів впорядкованої множини A. Елемент a' має назву верхньої (нижньої) границі S, якщо для будь-якого а з S справедливе a ≤ a' (a ≥ a'). Якщо множина усіх верхніх (нижніх_ границь множини S містить найменший (найбільший) елемент, то він має назву точної верхньої (точної нижньої) границі і позначається sup S(inf S). Якщо для будь-яких a, b з множини A існують inf (a, b) та sup (a, b), то така множина називається структурою або решіткою. Точна верхня границя такої множини є $a \land b$, точна нижня границя є $a \lor b$.

Зв'язок з булевим кільцем

Кожна булева алгебра еквівалентна булевому кільцю і навпаки:

Операції булевого кільця:

$a + b = (a \land {\neg}b) \lor (b \land {\neg}a)$

$a b = a \land b$

Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини (полю множин). Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.

Аксіоматизація

В 1933 американський математик Едвард Хантінгтон запропонував наступну аксіоматизацію для булевих алгебр:

• комутативність: $a \lor b = b \lor a$
• асоціативність: $a \lor \left(b \lor c\right) = \left(a \lor b\right) \lor c$
• аксіома Хантінгтона: $\neg \left( \neg a \lor b \right) \lor \neg \left( \neg a \lor \neg b \right) = a.$

Герберт Робінс задав питання: чи можна скоротити третю аксіому так, як подано нижче

• аксіома Робінса: $\neg \left( \neg \left(a \lor b \right) \lor \neg \left(a \lor \neg b \right) \right) = a.$

Приклади

Алгебра логіки та алгебра множин є загально-відомими прикладами булевої алгебри.

Алгебра логіки (двійкова алгебра)

Найважливішим прикладом булевої алгебри є булева алгебра з двома елементами — одиничний елемент 1 та нульовий елемент 0. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція $\lor$ в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція $\land$ -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false). Результати цих двох операцій можуть бути зведені в такі таблиці:

$\lor$ 0 1 0 0 1 1 1 1

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

Така двійкова алгебра відіграє ключову роль в описі цифрових схем (насамперед це стосується цифрових схем без зворотних зв'язків).

Див. також

• Булева алгебра з двома елементами
• Поле множин

Література

• «Філософський словник» / За ред. В. І. Шинкарука. — 2.вид., перероб. і доп. — К.: Голов. Ред. УРЕ, 1986.