Простір основних функцій

Простір основних функцій — структура, за допомогою якої будується простір узагальнених функцій (простір лінійних функціоналів на просторі основних функцій).

Узагальнені функції мають велике значення в математичній фізиці, а простір основних функцій використовується як основа для побудови узагальнених функцій (формально це область визначення відповідних узагальнених функцій). Диференціальні рівняння розглядаються у так званому слабкому сенсі, тобто розглядається не рівність у кожній точці, а рівність відповідних регулярних лінійних функціоналів на відповідному просторі основних функцій.

Зазвичай як простір основних функцій ${\mathcal {D}}(\Omega )$ вибирається простір нескінченно диференційовних функцій з компактним носієм (так званих фінітних функцій) $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, на якому вводиться така збіжність (а значить і топологія): послідовність $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ збігається до $u\in {\mathcal {D}}(\Omega )$, якщо:

1. Функції $u_{j}$ рівномірно фінітні, тобто $\exists K$ — компакт у $\Omega$ і в том числі $\forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K$.
2. $\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ рівномірно за $x$.

Тут $\Omega$ — обмежена область у $\mathbb {R} ^{n}$.

Джерела

• В.С. Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. — изд. 2-е. — М. : Наука, 1979. — 320 с.