Рівномірна збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності f_n:X\to Y, де X — довільна множина, Y=(Y,d)метричний простір, n = 1, 2,\dots збігається до функції (відображення) f:X\to Y, що означає, що для будь-якого \varepsilon > 0 існує такий номер N_\varepsilon, що для всіх номерів n>N_\varepsilon і всіх точок x\in X виконується нерівність

d(f_n(x),f(x))<\varepsilon.

Зазвичай позначаєтьсяf_n\rightrightarrows f.

Ця умова рівнозначна тому, що

\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} d(f_n(x),f(x))=0.

Приклад[ред.ред. код]

  • Послідовність f_n(x)=x^n, n=1,2,\dots рівномірно збігається на будь-якому відрізку [0, a], 0 < a < 1 і не збігається рівномірно на відрізку [0, 1].

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо Y — нормований простір і послідовності відображень f_n:X\to Y і g_n:X\to Y, n=1,2,\dots рівномірно збігаються на множині X, то послідовності \{ f_n+ g_n\} також як і \{ \alpha f_n\} при будь-яких \alpha\in \R також рівномірно збігаются на X.
  • Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень f_n:X\to \R, рівномірно збігається на множині X та g:X\to \R обмежене відображення, то послідовність \{g f_n\} також рівномірно збігається на X.
  • Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій f_n:[a,b]\to \R рівномірно збігається на відрізку [a,b] до функції f : [a,b]\to\R, то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного x\in [a,b] має місце рівність
        \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt
    і збіжність послідовності функцій
        x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt
    на відрізку [a,b] до функції
        x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt
    рівномірна.
  • Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку [a,b] функцій f_n : [a,b] \to\R, збігається у деякій точці x_0, a послідовність їх похідних рівномірно збігається на [a,b], то послідовність \{f_n\} також рівномірно збігається на [a,b], її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
  • Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.