Рівномірна збіжність

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності $f_n:X\to Y$, де $X$ — довільна множина, $Y=(Y,d)$ — метричний простір, $n = 1, 2,\dots$ збігається до функції (відображення) $f:X\to Y$, що означає, що для будь-якого $\varepsilon > 0$ існує такий номер $N_\varepsilon$, що для всіх номерів $n>N_\varepsilon$ і всіх точок $x\in X$ виконується нерівність

$d(f_n(x),f(x))<\varepsilon.$

Зазвичай позначається$f_n\rightrightarrows f$.

Ця умова рівнозначна тому, що

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} d(f_n(x),f(x))=0.$

Приклад

• Послідовність $f_n(x)=x^n$, $n=1,2,\dots$ рівномірно збігається на будь-якому відрізку $[0, a]$, $0 < a < 1$ і не збігається рівномірно на відрізку $[0, 1]$.

Властивості

• Із рівномірної збіжності випливає поточкова збіжність на тій же множині.

• Якщо $Y$ — нормований простір і послідовності відображень $f_n:X\to Y$ і $g_n:X\to Y$, $n=1,2,\dots$ рівномірно збігаються на множині $X$, то послідовності $\{ f_n+ g_n\}$ також як і $\{ \alpha f_n\}$ при будь-яких $\alpha\in \R$ також рівномірно збігаются на $X$.

• Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень $f_n:X\to \R$, рівномірно збігається на множині $X$ та $g:X\to \R$ обмежене відображення, то послідовність $\{g f_n\}$ також рівномірно збігається на $X$.

• Якщо $X$ — топологічний простір, $Y$ — метричний простір та послідовність неперервних в точці $x_0\in X$ відображень $f_n:X\to Y$ рівномірно збігається на множині $X$ до відображеня $f:X\to Y$, то це відображення також неперервно в точці $x_0$.

• Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій $f_n:[a,b]\to \R$ рівномірно збігається на відрізку $[a,b]$ до функції $f : [a,b]\to\R$, то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного $x\in [a,b]$ має місце рівність
      $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt$
  і збіжність послідовності функцій
      $x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt$
  на відрізку $[a,b]$ до функції
      $x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt$
  рівномірна.

• Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку $[a,b]$ функцій $f_n : [a,b] \to\R$, збігається у деякій точці $x_0$, a послідовність їх похідних рівномірно збігається на $[a,b]$, то послідовність $\{f_n\}$ також рівномірно збігається на $[a,b]$, її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. також

• Теорема Діні
• Теорема Єгорова

Література

• Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
• Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.