Рівномірно розподілена послідовність

Рівномірно розподілена послідовність — нескінченна послідовність дійсних чисел $s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots$ із заданого інтервалу $(a;b)$ ($a<b$), в якій у будь-якому ненульовому відрізку $(c;d)$ ($c<d$) частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до відношення довжини відрізка $(c;d)$ до довжини інтервалу $(a;b)$:

$\lim _{n\to \infty }{{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}={{d-c} \over {b-a}}}$,

де $\varphi _{n}(c,d)$ — кількість чисел із $s_{1},\dots ,s_{n}$, що потрапили в $(c;d)$.

Розбіжністю D_n для послідовності $s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots$ на відрізку $[a;b]$ називають величину

$D_{n}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}-{\frac {d-c}{b-a}}}\right\vert .$

Послідовність виявляється рівнорозподіленою, якщо розбіжність D_n прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.

Рівномірний розподіл — досить слабкий критерій для вираження того факту, що послідовність заповнює відрізок, не залишаючи прогалин. Для отримання строгіших критеріїв і для побудови послідовностей, які рівномірно розподілені, див. послідовність із низькою розбіжністю.

Ключовим результатом щодо рівномірно розподілених послідовностей є теорема Вейля про рівномірний розподіл.

Література

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М. : Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М. : Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.