Якщо кут 0° ≤ θ ≤ 90°, то скалярна проєкція a на b збігається з довжиною проєкції вектора . Векторна проєкція a на b (a 1 ), вектор відхилення a від b (a 2 ).У математиці, скалярна проєкція вектора
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
скалярним компонентом вектора
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
s
=
|
a
|
cos
θ
=
a
⋅
b
^
,
{\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}
де оператор
⋅
{\displaystyle \cdot }
скалярний добуток ,
b
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}
одиничний вектор по напрямку
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
|
a
|
{\displaystyle |\mathbf {a} |}
довжина вектора
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
θ
{\displaystyle \theta }
кут між
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
Скалярна проєкція — це скаляр , значення якого дорівнює евклідовій нормі ортогональної проєкції вектора
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
Вектор, отриманий як добуток скалярної проєкції
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
b
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }
векторною проєкцією
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
Визначення засноване на куті θ [ ред. | ред. код ] Якщо відомий кут
θ
{\displaystyle \theta }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
s
=
|
a
|
cos
θ
.
{\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta .}
Визначення в термінах a і b [ ред. | ред. код ] Якщо кут
θ
{\displaystyle \theta }
косинус
θ
{\displaystyle \theta }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
скалярного добутку
a
⋅
b
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
=
cos
θ
{\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta \,}
Згідно з цією властивістю, визначення скалярної проєкції
s
{\displaystyle s\,}
s
=
|
a
|
cos
θ
=
|
a
|
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
=
a
⋅
b
|
b
|
{\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\,}
Скалярна проєкція матиме негативний знак, якщо
90
<
θ
⩽
180
{\displaystyle 90<\theta \leqslant 180}
векторною проєкцією евклідової норми , якщо кут менший за 90°. Більш конкретно, якщо векторна проєкція позначається як
a
1
{\displaystyle \mathbf {a} _{1}}
|
a
1
|
{\displaystyle |\mathbf {a} _{1}|}
s
=
|
a
1
|
,
{\displaystyle s=|\mathbf {a} _{1}|,}
0
<
θ
⩽
90
{\displaystyle 0<\theta \leqslant 90}
s
=
−
|
a
1
|
,
{\displaystyle s=-|\mathbf {a} _{1}|,}
90
<
θ
⩽
180
{\displaystyle 90<\theta \leqslant 180}
