Вектор (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Vector AB from A to B.svg

Геометричний вектор — у фізиці і математиці — величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. У фізиці існує чимало важливих величин, котрі є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, кутовий момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм, тиск, температура та густина, які можна описати звичайним числом, їх називають «скалярами».

Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини \overrightarrow{AB\,}. Наприклад, для графічного представлення сили величиною два ньютони треба намалювати відрізок прямої довжиною дві одиниці в напрямку дії сили. Стрілка вказує, що сила діє від точки A до точки B; якби сила діяла від B до A, то треба було б записати \overrightarrow{BA\,}. Чисельне значення вектора \vec{a} називається модулем чи довжиною і позначається |\vec{a}|. Ця величина — скаляр. Два паралельних вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначено через \vec{a}, то протилежний йому вектор позначається через -\vec{a}. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається \vec{0}.

Два вектори називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються. У механіці цим визначенням треба користуватися з обережністю, оскільки дві рівні сили, прикладені до різних точок тіла можуть призводити до різних результатів.

Багато алгебраїчних дій мають свої аналоги і для векторів: вектори можна між собою додавати і віднімати, можна множити і ділити на числа. Для цих операцій діють багато правил алгебри, як, наприклад, комутативність, асоціативність та дистрибутивність (віднімання трактується як особливий випадок додавання). Суму двох векторів з однаковим початком можна знайти геометрично за допомогою правила паралелограма.

Вектор є тензором першого рангу.


Поняття вектора[ред.ред. код]

Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана і ірландського математика В. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. У сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Властивості векторів[ред.ред. код]

Ортогональність[ред.ред. код]

Вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Інколи замість цього терміну використовують «перпендикулярність», проте слід враховувати, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору, але поняття перпендикулярності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Колінеарність[ред.ред. код]

Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

Часто замість цього терміну використовують термін «паралельність», проте слід враховувати, що нульовий вектор коллінеарний будь-якому вектору, але поняття паралельності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Рівність векторів[ред.ред. код]

Нехай \vec{AB} i \vec{CD} — два вектори площини (або простору). Кажуть, що вектор |\vec{AB}| дорівнює вектору \vec{CD}, і записують \vec{AB} = \vec{CD}, якщо:
1)довжина відрізка AB дорівнює довжині відрізка CD;
2)промені AB i CD однаково напрямлені.

Властивості додавання векторів[ред.ред. код]

1) властивість нульового вектора:
a+0=a;
2) асоціативність додавання:
(a+b)+c=a+(b+c);
3) комутативність додавання:
a+b=b+a;

Властивості множення вектора на число[ред.ред. код]


1) комутативність:
λa=aλ;

2) асоціативність:
λ(μa)=(λμ)a;

3) дистрибутивність відносно додавання векторів:
λ(a+b)=λa+λb;
4) дистрибутивність відносно додавання чисел:
(μ+λ)a=μa+λa;

Застосування[ред.ред. код]

Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея — Ньютона (в її сучасному викладенні), в теорії відносності, природознавства, не кажучи вже про застосування векторів в різних областях математики.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]


Джерела[ред.ред. код]

Довідник з математики для середніх навчальних закладів / За ред. С. О. Степанова. — К.: Вища шк. Головне вид-во, 1998.-416с..:іл.