Скалярний добуток

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — математична операція над двома векторами, результатом якої є скаляр. Скалярний добуток векторів $\vec x$ та $\vec y$ обчислюється за формулою:

$\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)$

де $|\vec x|$ та $|\vec y|$ є довжинами векторів, а $\cos \measuredangle\left(\vec x, \vec y\right)$ дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: $\vec x\cdot \vec y$= $\vec x\vec y$.

Два означення добутку векторів.

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини $\vec x$ на довжину проекції $\vec y$ на $\vec x$).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називається функція, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів $x$ та $y$ позначається як $\langle x,y\rangle$. Можлива і скорочена форма запису: $xy$. Також можливе позначення $x^Ty$, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначається як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

$\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$    і   $\vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

$n$-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

$\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_iy_i = {x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+\dotsb + {x_n}{y_n}.$

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється таким чином:

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36$,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому із співмножників треба транспонувати і помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

$|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x}.$

Якщо простір евклідовий, то:

$|| \vec x || = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}.$

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

$\vec x\cdot \vec y = |\vec x| |\vec y| \cos \measuredangle \left(\vec x,\vec y\right).$

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

$\measuredangle\left(\vec x,\vec y\right)=\arccos\frac{\vec x\cdot\vec y}{\left|\vec x\right|\,\left|\vec y\right|}$

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів

Для $\C^n$ векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів $\vec x,\vec y\in \C^n$ визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

$\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} = {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb + {x_n}\overline{y_n},$

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як:

$\vec x\cdot \vec y := \sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i = \overline{x_1}{y_1}+\overline{x_2}{y_2}+\dotsb + \overline{x_n}{y_n}.$

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто $\vec x \cdot \vec y = \vec y\cdot \vec x$, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто $\vec x \cdot \vec y=\overline{\vec y \cdot \vec x }$.
• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
• Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.
• В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A^*, для якого виконується рівність: $\langle A \cdot x,y \rangle =\langle x,A^* \cdot y\rangle$ для довільних x, y.

Узагальнене визначення

Якщо $L$ — лінійний простір над полем $\mathcal K$, а $\overline L$ — комплексно спряжений до $L$ то білінійне відображення $L\times L \to \mathcal K$, або , при $\mathcal K = \C$ відображення $L \times \overline{L} \to \mathcal K$ називається скалярним добутком.

• Скалярний добуток в дійсному векторному просторі $V$, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\R$, тобто, для $x,y,z\in V$ та $\lambda\in\R$ виконуються такі умови:
  1. білінійність:
     • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
     • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
     • $\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle$
  2. симетричність: $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$
  3. додатньовизначеність: $\langle x,x\rangle\geq0,$ та $\langle x,x\rangle=0$ якщо $x=0$
• Скалярний добуток в комплексному векторному просторі $V$, це ермітове додатньовизанчене півторалінійне відображення $\langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to \C$, тобто, для $x,y,z\in V$ і $\lambda\in\C$ виконуються такі умови:
  1. півторалінійність:
     • $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$
     • $\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$
     • $\langle \lambda x, y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle x,\bar \lambda y\rangle$
  2. ермітовість: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
  3. додатньовизначеність: $\langle x,x\rangle\geq0$, і $\langle x,x\rangle=0$ якщо $x=0$. (те, що $\langle x,x\rangle$ дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. При цьому, вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

$\langle x, y\rangle = x^Ty = y^Tx,$

де знаком ${}^T$ позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

$\langle x, y\rangle = x^* y,$

де знаком ${}^*$ позначається ермітово-спряжена матриця.

---

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця $A$ визначає скалярний добуток:

$\langle x, y\rangle_A = x^T A y$;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця $A$ визначає скалярний добуток:

$\langle x, y\rangle_A = x^* A y$.

Див. також

Ермітів скалярний добуток Векторний добуток Гільбертів простір

Норма (математика) Нерівність Коші-Буняковського

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158. 
• Мальцев А. И. (1970). Основы линейной алгебры (вид. третє). Новосибірськ: Наука. с. 400.