Теорема Віртінгера

Теорема Віртінгера — теорема про геометричні властивості багатовимірного комплексного простору. Встановлює вигляд диференціальної форми, що вимірює об'єми комплексних многовидів. Доведена Вільгельмом Віртінґером у 1936 році .

Формулювання

Нехай $M\subset C^{n}$ — многовид класу $C^{1}$ парної дійсної розмірності $2m$. Об'єм цього многовиду:

$VolM\geqslant {\frac {1}{m!}}\int _{M}\varphi _{0}^{m}$,

причому рівність тут досягається тоді й лише тоді, коли $M$ — комплексний $m$-вимірний многовид.

Тут диференціальна форма $\varphi _{0}={\frac {i}{2}}\sum _{\nu =1}^{n}dz_{\nu }\wedge {\bar {dz_{\nu }}}={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\left|z\right|^{2}$, де $\left|z\right|^{2}=\sum z_{\nu }{\bar {z_{\nu }}}$ — евклідів квадрат модуля.

Література

• Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных. — М.: Наука, 1985. — стр. 133.