Диференціальна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальна форма порядку k або k-форма — кососиметричне тензорне поле типу (0,\;k) на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми були введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір k-форм на многовиді M звичайно позначають \Omega^k(M).

Визначення[ред.ред. код]

Інваріантне[ред.ред. код]

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня k — це гладкий перетин k-ого зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, TpM — дотичний простір многовиду M в точці p, T*pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначимо \Lambda^k (T^*_p M) — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

\beta \colon T_p M\times \cdots \times T_p M \to \R

Тоді диференціальна k-форма \omega це відображення:

\omega \colon p \to \Lambda^k (T^*_p M)

в довільній точці pM, при чому

\omega (p) (V_1(p), \ldots , V_k (p)) \in C^\infty (M, \R),

де V_1(p), \ldots , V_k (p) — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти[ред.ред. код]

Якщо (x_1, ... , x_n) — локальна система координат у області U \in M, то форми dx_1, ..., dx_n утворюють базис в кодотичному просторі T^{*}_{X}M. Тому будь-яка зовнішня p — форма а записується в U у вигляді

\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}

де f_{i_1i_2\ldots i_k} — гладкі функції dx^i — диференціал i-ої координати x^i (функція від вектора, що визначає його координату з номером i ), а \wedge — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, к-форми можуть бути визначені як форми на картах, які узгоджені на склеюваннях.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Зовнішня похідна[ред.ред. код]

Докладніше: Зовнішня похідна

Лінійне відображення d: \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) називається зовнішньою похідною якщо:

  1. Для p=0 воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
  2. \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
  3. Для будь-якої форми виконується рівність d(d\omega)=0.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал можна записати за допомогою формули:

  • d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
  • Диференціальна форма називається замкнутою, якщо її зовнішня похідна рівна 0.
  • k-форма називається точною, якщо її можна представити як диференціал деякої (k-1) -форми.
  • Факторгрупа H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} замкнутих k-форм по точних k-формах називається k-мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
  • Внутрішньою похідною форми \omega по векторному полю \mathbf{v} називається форма
i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots u_n) = \omega(\mathbf{v} u_1, \dots, u_n)

Властивості[ред.ред. код]

  • Для диференціалів диференціальних форм \omega_F векторного поля F справедливо:
\ d(d \omega_F) = 0
d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1
d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2
d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3
d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4
  • Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від k векторів.

Алгебраїчні операції[ред.ред. код]

Диференціальні форми порядку k задані у диференціальному многовиді M утворюють модуль \Omega^k(M) над кільцем C^{\infty}(M). Зокрема для диференціальних форм порядку k визначені додавання і множення на функцію :

(\alpha+\beta)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_x(v_1,\dots,v_k)+\beta_x(v_1,\dots,v_k) ;
(f\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=f(x)\cdot\alpha_x(v_1,\dots,v_k).
Зовнішній добуток 
Зовнішній добуток форм \alpha і \beta порядків k і q визначається за допомогою наступної формули :
(\alpha\wedge \beta)_x(v_1,\dots,v_{k+q})=\frac{1}{k!q!}\sum \varepsilon(\sigma)\cdot \alpha_x(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)})\cdot \beta_x (v_{\sigma(k+1)}, \dots, v_{\sigma(k+q)}),
де \varepsilon(\sigma) позначає знак перестановки \sigma і сума береться по всіх перестановках \sigma чисел [1,k+q]. Результатом добутку є диференціальна форма порядку k+q.

З визначеними алгебраїчними операціями множина \Omega(M)=\oplus \Omega^k(M), є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм \alpha і \beta порядків k і q, Виконується

\alpha\wedge \beta=(-1)^{kq}\beta\wedge\alpha.

Зворотний образ[ред.ред. код]

Якщо відображення f:M\rightarrow N є гладким, \alpha — диференціальна форма порядку k на многовиді N, тоді можна визначити диференціальну форму  f^*\alpha порядку k визначену на M:

(f^*\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_{f(x)}(\mathrm df_x(v_1),\dots,\mathrm df_x(v_k)).

Дане відображення задовольняє рівностям:

  • f^*(\alpha+\beta) = f^*(\alpha)+f^*(\beta)\,
  • f^*(g \cdot \alpha) = (g \circ f)\cdot f^*(\alpha)
  • f^*(\alpha \wedge \beta) = f^*(\alpha)\wedge f^*(\beta)
де \alpha, \beta — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже відображення f^*:\Omega(N)\rightarrow \Omega(M) визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x1, …, xm — координати на M, that y1, …, yn — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями yi = fi(x1, …, xm) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \omega_{i_1\cdots i_k}dy_{i_1} \wedge \cdots \wedge dy_{i_k},

де, для довільного вибору i1, …, ik, \omega_{i_1\cdots i_k} — дійсна функція змінних y1, …, yn. З властивостей зворотного образу одержується формула для f*ω :

f^*\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} (\omega_{i_1\cdots i_k}\circ f)df_{i_1}\wedge\cdots\wedge df_{i_n}.

Кожна зовнішня похідна dfi може бути записана в термінах dx1, …, dxm. Відповідна k-форма може бути записана за допомогою матриці Якобі:

f^*\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \sum_{j_1 < \cdots < j_k} (\omega_{i_1\cdots i_k}\circ f)\frac{\partial(f_{i_1}, \ldots, f_{i_k})}{\partial(x_{j_1}, \ldots, x_{j_k})}dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_k}.

Інтегрування[ред.ред. код]

Нехай

\omega=\sum a_{i_1,\dots,i_k}({\mathbf x})\,dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області D \in \R^n:

S({\mathbf u})=(x^1({\mathbf u}),\dots,x^n({\mathbf u})) . Тоді можна визначити інтеграл:
\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\dots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x^{i_1},\dots,x^{i_k})}{\partial(u^{1},\dots,u^{k})}\,du^1\ldots du^k

де

\frac{\partial(x^{i_1},\dots,x^{i_k})}{\partial(u^{1},\dots,u^{k})} — визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса[ред.ред. код]

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо \omega — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:
\int_M d\omega = \oint_{\partial M} \omega.\!\,

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса-Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Приклади[ред.ред. код]

  • З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторное поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці p многовиду M і що відображає елементи дотичного простору T_p (M) у множину дійсних чисел \R:
    \omega(p): T_p (M)\rightarrow \R
  • Форма об'єму — приклад n-форми на n-мірному многовиді.
  • Симплектична форма — замкнута 2-форма \omega на 2n-многовиді, така що \omega^n\not=0.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
  • Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
  • Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
  • Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1