Диференціальна форма

Диференціальна форма порядку $k$ або $k$-форма — кососиметричне тензорне поле типу $(0,\;k)$ на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми були введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір $k$-форм на многовиді $M$ звичайно позначають $\Omega^k(M)$.

Визначення

Інваріантне

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня $k$ — це гладкий перетин $k$-ого зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, T_pM — дотичний простір многовиду M в точці p, T^*_pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначимо $\Lambda^k (T^*_p M)$ — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

$\beta \colon T_p M\times \cdots \times T_p M \to \R$

Тоді диференціальна k-форма $\omega$ це відображення:

$\omega \colon p \to \Lambda^k (T^*_p M)$

в довільній точці p∈M, при чому

$\omega (p) (V_1(p), \ldots , V_k (p)) \in C^\infty (M, \R),$

де $V_1(p), \ldots , V_k (p)$ — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти

Якщо $(x_1, ... , x_n)$ — локальна система координат у області $U \in M$, то форми $dx_1, ..., dx_n$ утворюють базис в кодотичному просторі $T^{*}_{X}M$. Тому будь-яка зовнішня p — форма а записується в U у вигляді

$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}$

де $f_{i_1i_2\ldots i_k}$ — гладкі функції $dx^i$ — диференціал $i$-ої координати $x^i$ (функція від вектора, що визначає його координату з номером $i$ ), а $\wedge$ — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, к-форми можуть бути визначені як форми на картах, які узгоджені на склеюваннях.

Пов'язані визначення

Зовнішня похідна

Лінійне відображення $d: \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для $p=0$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. $\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)$
3. Для будь-якої форми виконується рівність $d(d\omega)=0$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал можна записати за допомогою формули:

• $d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

• Диференціальна форма називається замкнутою, якщо її зовнішня похідна рівна 0.
• k-форма називається точною, якщо її можна представити як диференціал деякої (k-1) -форми.
• Факторгрупа $H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}$ замкнутих k-форм по точних k-формах називається $k$-мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
• Внутрішньою похідною форми $\omega$ по векторному полю $\mathbf{v}$ називається форма

$i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots u_n) = \omega(\mathbf{v} u_1, \dots, u_n)$

Властивості

• Для диференціалів диференціальних форм $\omega_F$ векторного поля $F$ справедливо:

$\ d(d \omega_F) = 0$

$d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1$

$d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2$

$d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3$

$d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4$

• Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від $k$ векторів.

• Внутрішнє диференціювання лінійно і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:

  $d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}$

Алгебраїчні операції

Диференціальні форми порядку $k$ задані у диференціальному многовиді $M$ утворюють модуль $\Omega^k(M)$ над кільцем $C^{\infty}(M)$. Зокрема для диференціальних форм порядку $k$ визначені додавання і множення на функцію :

$(\alpha+\beta)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_x(v_1,\dots,v_k)+\beta_x(v_1,\dots,v_k)$ ; $(f\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=f(x)\cdot\alpha_x(v_1,\dots,v_k)$.

Зовнішній добуток 

Зовнішній добуток форм $\alpha$ і $\beta$ порядків $k$ і $q$ визначається за допомогою наступної формули : $(\alpha\wedge \beta)_x(v_1,\dots,v_{k+q})=\frac{1}{k!q!}\sum \varepsilon(\sigma)\cdot \alpha_x(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)})\cdot \beta_x (v_{\sigma(k+1)}, \dots, v_{\sigma(k+q)})$, де $\varepsilon(\sigma)$ позначає знак перестановки $\sigma$ і сума береться по всіх перестановках $\sigma$ чисел $[1,k+q]$. Результатом добутку є диференціальна форма порядку $k+q$.

З визначеними алгебраїчними операціями множина $\Omega(M)=\oplus \Omega^k(M)$, є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм $\alpha$ і $\beta$ порядків $k$ і $q$, Виконується

$\alpha\wedge \beta=(-1)^{kq}\beta\wedge\alpha$.

Зворотний образ

Якщо відображення $f:M\rightarrow N$ є гладким, $\alpha$ — диференціальна форма порядку $k$ на многовиді $N$, тоді можна визначити диференціальну форму $f^*\alpha$ порядку $k$ визначену на $M$:

$(f^*\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_{f(x)}(\mathrm df_x(v_1),\dots,\mathrm df_x(v_k))$.

Дане відображення задовольняє рівностям:

• $f^*(\alpha+\beta) = f^*(\alpha)+f^*(\beta)\,$
• $f^*(g \cdot \alpha) = (g \circ f)\cdot f^*(\alpha)$
• $f^*(\alpha \wedge \beta) = f^*(\alpha)\wedge f^*(\beta)$

де $\alpha, \beta$ — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже відображення $f^*:\Omega(N)\rightarrow \Omega(M)$ визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x₁, …, x_m — координати на M, that y₁, …, y_n — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями y_i = f_i(x₁, …, x_m) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

$\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \omega_{i_1\cdots i_k}dy_{i_1} \wedge \cdots \wedge dy_{i_k},$

де, для довільного вибору i₁, …, i_k, $\omega_{i_1\cdots i_k}$ — дійсна функція змінних y₁, …, y_n. З властивостей зворотного образу одержується формула для f^*ω :

$f^*\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} (\omega_{i_1\cdots i_k}\circ f)df_{i_1}\wedge\cdots\wedge df_{i_n}.$

Кожна зовнішня похідна df_i може бути записана в термінах dx₁, …, dx_m. Відповідна k-форма може бути записана за допомогою матриці Якобі:

$f^*\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \sum_{j_1 < \cdots < j_k} (\omega_{i_1\cdots i_k}\circ f)\frac{\partial(f_{i_1}, \ldots, f_{i_k})}{\partial(x_{j_1}, \ldots, x_{j_k})}dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_k}.$

Інтегрування

Нехай

$\omega=\sum a_{i_1,\dots,i_k}({\mathbf x})\,dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області $D \in \R^n$:

$S({\mathbf u})=(x^1({\mathbf u}),\dots,x^n({\mathbf u}))$ . Тоді можна визначити інтеграл:

$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\dots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x^{i_1},\dots,x^{i_k})}{\partial(u^{1},\dots,u^{k})}\,du^1\ldots du^k$

де

$\frac{\partial(x^{i_1},\dots,x^{i_k})}{\partial(u^{1},\dots,u^{k})}$ — визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо $\omega$ — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:

$\int_M d\omega = \oint_{\partial M} \omega.\!\,$

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса-Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Приклади

• З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторное поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці $p$ многовиду $M$ і що відображає елементи дотичного простору $T_p (M)$ у множину дійсних чисел $\R$:

  $\omega(p): T_p (M)\rightarrow \R$

• Форма об'єму — приклад $n$-форми на $n$-мірному многовиді.
• Симплектична форма — замкнута 2-форма $\omega$ на $2n$-многовиді, така що $\omega^n\not=0$.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Зовнішній добуток

Література

• В. А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
• Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1