Фінслерова геометрія

Фінслерова геометрія — одне з узагальнень ріманової геометрії. У фінслеровій геометрії розглядаються многовиди з фінслеровим метричним тензором; тобто вибором гладкої норми на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.

Основні поняття

Нехай $M^n$ — $n$-вімірний зв'язаний $C^{\infty}$-многовид. Позначимо через $TM^n$ дотичне розшарування $M^n$. Тоді фінслеровою метрикою на $M^n$ називається функція $F\colon TM^n\rightarrow [0,\infty)$, що задовільняє властивостям:

1. $F\in C^{\infty}(TM^n\setminus\{0\})$ ;
2. $F$ додатньо однородна першої степени, тобто для будь-якої пари $(x,y)\in TM^n$ і числа $\lambda>0$,

   $\ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)$;

3. Для будь-якої пари $(x,y)\in TM^n$ білінійна форма $\mathbf{g}_y\colon T_x M^n\times T_x M^n\rightarrow \mathbb{R}$,

   $\mathbf{g}_y(u,v)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t\,\partial s} \lbrack F^2(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}$

додатньо визначена.