Фінслерова геометрія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фінслерова геометрія — одне з узагальнень ріманової геометрії.

У фінслеровій геометрії розглядаються многовиди з фінслеровим метричним тензором; тобто вибором гладкої норми на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.

Основні поняття[ред.ред. код]

Нехай M^n — n-вімірний зв'язаний C^{\infty}-багатовид.

Позначимо через TM^n дотичне розшарування M^n. Тоді фінслеровою метрикою на M^n називається функція F\colon TM^n\rightarrow [0,\infty), що задовільняє властивостям:

  1. F\in C^{\infty}(TM^n\setminus\{0\})  ;
  2. F додатньо однородна першої степени, тобто для будь-якої пари (x,y)\in TM^n і числа \lambda>0,
    \ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y);
  3. Для будь-якої пари  (x,y)\in TM^n білінійна форма \mathbf{g}_y\colon T_x M^n\times T_x M^n\rightarrow \mathbb{R},
    \mathbf{g}_y(u,v)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t\,\partial s}
\lbrack F^2(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}

додатньо визначена.