Критерій добутків

Крите́рій добутків  — один з критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності. Умовами невизначеності вважається ситуація, коли наслідки прийнятих рішень невідомі, і можна лише приблизно їх оцінити. Цей критерій застосовується тільки тоді, коли множина станів є скінченною.

Множина оптимальних альтернатив визначається так:

$X_{opt}=\mathrm {arg\;\max _{\mathit {x\in X}}} \prod _{s\in S}\omega (x,s),\;\mathrm {(1)}$

де $~\omega (x,s)=u(x,s)$, за умови, що $~u(x,s)>0,\forall \;x\in X$ та $~\forall \;s\in S,\;\mathrm {(2)}$

$\;u(x,s)$  — функція рішень, визначена на $X\times S$, $X$ — множина альтернатив, $S$ — множина станів,

Якщо умова $\mathrm {(2)}$ не виконується, тоді

$~\omega (x,s)=u(x,s)-\mathrm {\min _{\mathit {x\in X}}\;\min _{\mathit {s\in S}}} \;u(x,s)+\lambda ,\;\lambda >0.\;\mathrm {(3)}$

У скінченновимірного випадку, якщо $\mathbf {U} =[u_{kj}]_{M\times N}$  — матриця рішень, де $M$  — кількість альтернатив, $N$  — кількість станів для кожної альтернативи, то множина оптимальних альтернатив визначається так:

$X_{opt}=\mathrm {arg\;\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \prod _{j=1}^{N}\omega _{xj},\;\mathrm {(4)}$

де $~\omega _{kj}=u_{kj}$, за умови, що $~u_{kj}>0,\forall \;k={\overline {1,M}}$ та $~\forall \;j={\overline {1,M}}.\;\mathrm {(5)}$

Якщо умова $\mathrm {(5)}$ не виконується, тоді

$~\omega _{kj}=u_{kj}-\mathrm {\min _{{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}\;\min _{{\mathit {j}}={\overline {1,{\mathit {N}}}}}} \;u_{kj}+\lambda ,\;\lambda >0.\;\mathrm {(6)}$

Приклад

$\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}.$

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}0.1&0.3&0.6&0\\0.2&0.5&0&0.3\\0.6&0.2&0.2&0\\\end{bmatrix}}.$

$\mathbf {W=(\omega _{\mathit {kj}})_{\mathit {3\times 4}}} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}.$

Нехай $\lambda =1$, тоді отримаємо:

$X_{opt}(\lambda )=\mathrm {arg\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \{4\cdot 1\cdot 5\cdot 4,\;6\cdot 7\cdot 8\cdot 3,\;9\cdot 1\cdot 2\cdot 4\}=\mathrm {arg\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \{80,\;1008,\;72\}=\{x_{2}\}\;$

Критерії прийняття рішень

• Теорія рішень
• Критерій Баєса — Лапласа
• Критерій Вальда
• Критерій Севіджа
• Критерій Гурвіца
• Критерій Гермейєра
• Критерій мінімальної дисперсії
• Критерій Ходжа-Лемана
• Критерій максимальної імовірності