Логарифмічний потенціал

Логарифмічний потенціал — функція, визначена в ℝ² як згортка узагальненої функції ρ з функцією -ln|z|:

$V=-\rho \ln |z|.$

Логарифмічний потенціал задовольняє рівняння Пуассона V = −2πρ. За аналогією з ньютонівським потенціалом можна розглядати три окремі випадки логарифмічного потенціалу.

Фізичний зміст

Фізичний зміст логарифмічних потенціалів полягає в тому, що вони відповідають потенціалу, який створюють заряди (або маси) у двовимірній електростатиці (або двовимірній ньютонівській гравітації), розподілені з (двовимірною) густиною ρ. З точки зору звичайної тривимірної електростатики, йдеться про електростатичний потенціал, який створює розподіл зарядів, що має трансляційну симетрію за однією з просторових осей (за віссю, ортогональною до площини, декартові координати на якій є компоненти вектора z, або його дійсна і уявна частина, якщо вважати z комплексним числом), іншими словами, розподіл зарядів, що не залежить від третьої координати, сталий за нею (потенціал зарядженої нитки).

Потенціал площі

$V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .$

Якщо $\rho (z)\in C({\overline {G}})$, то сам потенціал $V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ гармонічний в $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$ і

$V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .$

Тут, як це часто роблять, маємо на увазі подання $\mathbb {R} ^{2}$ як комплексної площини; втім, у межах визначень це несуттєво, й у цьому сенсі тут можна всюди замінити комплексні змінні $\zeta ,\ z$ просто двовимірними векторами, а модуль комплексного числа — евклідовою нормою $\mathbb {R} ^{2}$, а якщо $\rho$ також комплексна, можна розглядати окремо її дійсну та уявну частини.

Логарифмічний потенціал простого шару

$V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.$

Якщо $\mu (z)\in C(S)$, то сам потенціал $V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})$ гармонічний в $\mathbb {R} ^{2}\setminus S$ і

$V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .$

Якщо S — крива Ляпунова, то потенціал має похідні, причому на самій кривій спостерігається їх розрив:

$\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }},$

$\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }}.$

Логарифмічний потенціал подвійного шару

$V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}}dS_{\zeta },$

де φ — кут між нормаллю в точці ζ і радіус-вектором, проведеним у цю точку з точки z.

Якщо $\nu (z)\in C(S)$, то сам потенціал $V^{(1)}(z)$ гармонічний у $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$ і

$V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .$

Якщо S — крива Ляпунова, то:

$V^{(1)}\in C({\overline {G}})\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)$

і

$V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),$

$V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).$

Якщо, до того ж, густина — стала величина, потенціал дорівнює

$V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}$

Див. також

• Задача Діріхле
• Граничні умови Неймана
• Крайова задача
• Ньютонівський потенціал
• Теорія потенціалу

Література

• Владимиров В. С., Жаринов В. В.. Уравнения математической физики. — М. : Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.