Локальна дзета-функція

Конгруенц-дзета-функція — прототип для побудови важливої L-функції Гассе — Вейля, ряд вигляду

$Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)$,

побудований на послідовності числа точок $N_{k}$ афінного або проєктивного многовиду $V$ у скінченних полях.

Локальна дзета-функція $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$. Для неї існує аналог гіпотези Рімана.

Визначення

Нехай $V$ — афінний або проєктивний многовид над скінченним полем $\mathbb {F} _{q}$. Конгруенц-дзета-функція многовиду $V$ над $\mathbb {F} _{q}$ визначається як формальний степеневий ряд

$Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)$,

де $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}$, а $N_{k}$ — число точок $V$, що лежать у $\mathbb {F} _{q^{k}}$. Числа $N_{k}$ скінченні в силу скінченності будь-якого афінного або проєктивного многовиду скінченної розмірності над скінченним полем.

Локальною дзета-функцією називають функцію $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$, тут $p$ — характеристика поля $\mathbb {F} _{q}$, $s\in \mathbb {C}$ — комплексна змінна.

Приклади

Візьмемо рівняння $x=0$, геометрично це означає, що $V$ — це просто точка. У цьому випадку всі $N_{k}=1$. Тоді

$Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp(-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T}}$

Нехай $V$ — проєктивна пряма $0x=0$ над $F$. Якщо $F=\mathbb {F} _{q^{k}}$, то $V$ має $N_{k}=q^{k}+1$ точку: всі точки поля і нескінченну точку. Отже

$Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k}}{k}}+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1-T)(1-qT)}}$

Властивості

• $Z(X,T)$ подається у вигляді нескінченного добутку

$Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},$

де $x$ пробігає всі замкнуті точки $X$, а $\deg x$ — степінь $x$. У разі, якщо $X=V$, яке обговорювалося вище, то замкнуті точки — це класи еквівалентності $x=[P]$ точок $P\in {\overline {V}}$, де дві точки еквівалентні, якщо вони спряжені над полем $F$. Степінь $x$ — це степінь розширення поля $F$, породженого координатами $P$. Тоді логарифмічна похідна нескінченного добутку $Z(X,T)$ дорівнюваиме твірній функції

$N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,$.

• Якщо $E$ — еліптична крива, то в цьому випадку дзета-функція дорівнює

$Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}$

• Якщо $(\forall k)N_{k}<CA^{k}$, то $Z(T)$ збігається у відкритому крузі радіуса $R=A^{-1}$.

• Якщо $N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}$, причому $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ — відповідні дзета-функції, то $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$.

• Якщо $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}$, то $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}$.

Застосування

L-функція Гассе — Вейля визначається через конгруенц-дзета-функцію так:

$L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}$

Гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями

Якщо $C$ — проєктивна неособлива крива над $F$, то можна показати, що

$Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,$

де $P(t)$ — многочлен степеня $2g$, де $g$ — рід кривої $C$. Подамо

$P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,$

тоді гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями стверджує, що

$|\omega _{i}|=q^{1/2}$

Для локальної дзета-функції це твердження рівносильне тому, що дійсна частина коренів $\zeta (X,s)$ дорівнює $1/2$.

Наприклад, для еліптичної кривої отримуємо випадок, коли існують рівно 2 корені, і тоді можна показати, що абсолютні значення коренів дорівнюють ${\sqrt {q}}$. Цей випадок еквівалентний теоремі Гассе про оцінку числа точок кривої в скінченному полі.

Загальні формули для дзета-функції

Із формули сліду Лефшеца для морфізму Фробеніуса виходить, що

$Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1}}.$

Тут $X$ — відділювана схема скінченного типу над скінченним полем $\mathbb {F} _{q}$, а $\operatorname {Frob} _{q}$ — геометрична дія Фробеніуса на $\ell$-адичній етальній когомології з компактним носієм ${\overline {X}}$. Це показує, що дана дзета-функція є раціональною функцією $T$.

Див. також

• Дзета-функції
• Гіпотези Вейля
• Еліптична крива
• Етальна когомологія

Література

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М. : Мир, 1987. — 428 с.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М. : Мир, 1988. — 319 с.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981. — 597 с.