Підгрупа Фраттіні

В теорії груп підгрупа Фраттіні — характеристична підгрупа F(G) групи G, що визначається як перетин всіх максимальних підгруп G, якщо такі існують; якщо ж максимальних підгруп в групі G немає, то G сама називається своєю підгрупою Фраттіні (тобто в цьому випадку F(G) = G). Введена італійським математиком Джованні Фраттіні.

В теорії комутативних кілець аналогом такої підгрупи є радикал Джекобсона.

Властивості

Підгрупа Фраттіні складається з тих і лише тих елементів групи G, кожен з яких може бути видалений з довільної системи породжуючих елементів групи, що містить цей елемент. Тобто:

$F(G)=\{x|x\in G,<x,M>=G\;\Rightarrow \;<M>=G\}$

Скінченна група тоді і тільки тоді нільпотентна, коли група породжена її комутаторами міститься в її підгрупі Фраттіні. Для будь-якої скінченної та будь-якої поліциклічної групи G підгрупа F(G) — нільпотентна.

Якщо G — скінченна p-група, тоді F(G) = G^p [G,G]. Таким чином підгрупа Фраттіні є найменшою нормальною підгрупою N для якої факторгрупа G/N є ізоморфною до прямої суми циклічних груп порядку p. Якщо факторгрупа G/F(G) має порядок p^k, тоді k рівне найменшому числу породжуючих елементів групи G. Зокрема скінченна p-група є циклічною тоді і тільки тоді, коли факторгрупа G/F(G) теж є циклічною (з порядком p).

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985