Централізатор

В абстрактній алгебрі централізатором підмножини $U$ групи $G$ називається множина елементів $G$, які комутують з кожним елементом $U$. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

Групи і напівгрупи

Централізатором елемента $x$ групи (або напівгрупи) $G$ називається множина

$Z_{G}(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}$.

Для деякої підмножини $U$ групи (або напівгрупи) $G$ подібним чином можна ввести означення централізатора множини

$Z_{G}(U):=\{g\in G\mid gu=ug\ \;\;\forall u\in U\}=\bigcap _{u\in U}Z_{G}(u)$.

Кільця, алгебри, кільця і алгебри Лі

Якщо $R$ — кільце або алгебра, а $U$ — підмножина кільця, то централізатором $U$ називається множина, що є централізатором мультиплікативної напівгрупи кільця.

Якщо ${\mathfrak {L}}$ — алгебра Лі (або кільце Лі) з добутком Лі [x, y], то централізатор підмножини $U$ алгебри ${\mathfrak {L}}$ рівний

$\mathrm {Z} _{\mathfrak {L}}(U)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,u]=0$ для всіх $u\in U\}$

Означення централізаторів для кілець Лі пов'язане з означенням для кілець наступним чином. Якщо $R$ — асоціативне кільце, то для $R$ можна задати добуток [x, y] = xy — yx. Природно, xy = yx тоді і тільки тоді, коли [x, y] = 0. Якщо ми позначимо множину $R$ із цим добутком як ${\mathfrak {L}}_{R}$, то централізатор кільця $U$ у $R$ збігається з централізатором кільця Лі множини $U$ в ${\mathfrak {L}}_{R}$.

Властивості

Напівгрупи

Нехай $U'$ позначає централізатор множини $U$ у деякій напівгрупі. Тоді :

• $U'$ утворює піднапівгрупуу. Якщо напівгрупа є моноїдом, то централізатор є підмоноїдом.
• $U'=U'''=U'''''$.

Групи

• Централізатор довільної підмножини є підгрупою $G$.

Із рівності $1x=x=x1$ для всіх елементів групи $G$ випливає, що одиниця є елементом централізатора для довільної підмножини. Нехай $g,h\in Z_{G}(U)$, тоді $ghx=gxh=xgh,\;\forall x\in U$, тому $gh\in Z_{G}(U)$. Нарешті домноживши рівність $gx=xg$ де $x\in U$ зліва і справа на $g^{-1}$ отримаємо рівність $xg^{-1}=g^{-1}x$ і тому $g^{-1}\in Z_{G}(U)$.

• Централізатор $Z_{G}(U)$ завжди є нормальною підгрупою нормалізатора $N_{G}(U)$.

Централізатор очевидно є підгрупою нормалізатора. Нехай тепер $x\in U,\;f\in Z_{G}(U)\;g\in N_{G}(U)$. Тоді $gfg^{-1}x=gfyg^{-1}=gyfg^{-1}=xgfg^{-1}$, де $y\in U$ — такий елемент, що $xg=yg$ і відповідно $g^{-1}x=yg^{-1}$ (існування такого елемента випливає з означення нормалізатора). З одержаної рівності отримуємо $gfg^{-1}\in Z_{G}(U)$, що завершує доведення.

• $Z_{G}(Z_{G}(U))$ завжди містить множину $U$, проте $Z_{G}(U)$ не обов'язково містить $U$. Ця властивість має місце лише якщо st = ts для будь-яких $U$ і t з множини $U$, зокрема якщо $U$ є абелевою підгрупою у $G$.
• Централізатор $Z_{G}(U)$ підмножини $U$ є рівним централізатору підгрупи, породженої цією множиною.
• Для довільного елемента групи $Z_{G}(x^{-1})=Z_{G}(x)$
• Для довільного елемента групи $Z_{G}(x)=N_{G}(x)$.
• З принципу симетрії, якщо $U$ і $V$ є двома підмножинами у $G$, тоді $V\subseteq Z_{G}(U)$ в тому і тільки в тому випадку, коли $U\subseteq Z_{G}(V)$.
• Для підгрупи $H$ групи $G$ фактор-група $N_{G}(H)/Z_{G}(H)$ є ізоморфною підгрупі $\operatorname {Aut} (H)$, групі автоморфізмів групи $H$.
• Якщо задати гомоморфізм груп $T:G\to \operatorname {Inn} (G)$, як $T(x)(G)=T_{x}(G)=xgx^{-1}$, то можна описати $Z_{G}(U)$ в термінах дії групи $\operatorname {Inn} (G)$ на $G$: підгрупа $\operatorname {Inn} (G)$, яка фіксує усі елементи $U$ є рівною $T(Z_{G}(U))$.
• Нехай $G_{1}$ і $G_{2}$ є групами, $H$ — підгрупа $G_{1}$ і $f$ — гомоморфізм з $G_{1}$ у $G_{2}$. Тоді $\ f(Z_{G_{1}}(H))\subseteq Z_{G_{2}}(f(H))$.
• Якщо також $f$ є ізоморфізмом то $\ f(Z_{G_{1}}(H))=Z_{G_{2}}(f(H))$.
• Якщо $H$ є характеристичною підгрупою групи $G$ то і $Z_{G}(H)$ є характеристичною підгрупою.
• Якщо $H$ є нормальною підгрупою групи $G$ то і $Z_{G}(H)$ є нормальною підгрупою.

Кільця і алгебри Лі

• Централізатори в кільцях і алгебрах є підкільцями і підалгебри, відповідно. Централізатори в кільцях Лі і алгебрах Лі є підкільцями Лі і підалгебрами Лі, відповідно.
• Нормалізатор $U$ в кільці Лі містить централізатор $U$.
• $Z_{R}(Z_{R}(U))$ містить множину $U$, але не обов'язково збігається з нею.

Див. також

• Норма (теорія груп)
• Нормалізатор
• Центр групи

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, т. 100 (вид. reprint of the 1994 original), Providence, RI: American Mathematical Society, с. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, т. 1 (вид. 2), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras, New York: Dover Publications Inc., с. ix+331, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927 {{citation}}: Проігноровано невідомий параметр |ed 22 22ition= (довідка)
• Scott, W. R. (1987) [1964], Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3