Abc-гіпотеза

Напрямок	Теорія Чисел
Автори	Жозеф Остерле Девід Массер
Рік	1985
Еквівалентне	Удосконалена Гіпотеза Шпіро
Наслідки	Гіпотеза Біла Проблема Ердеша–Улама Гіпотеза Морделла Велика теорема Ферма Гіпотеза Ферма — Каталана Теорема Рота Теорема Тідждемана

Математик Джозеф Остерле

Математик Девід Массер

Abc-гіпотеза (також відома як гіпотеза Естерле–Массера ) — це гіпотеза розділу теорії чисел, яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році Вона виражається в термінах трьох натуральних чисел a, b і c (звідси й назва), які є взаємно простими та задовольняють умову a + b = c . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних простих множників abc зазвичай не набагато менший за c . Низка гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з abc-гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему діофантового аналізу ».

Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про еліптичні криві , що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж abc-гіпотеза . Було доведено, що abc-гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро.

Було зроблено багато спроб довести abc-гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною.

Формулювання

Перш ніж сформулювати гіпотезу, слід ввести поняття радикала цілого числа : для натурального числа n радикал n, позначається rad( n ), є добутком різних простих множників n . Наприклад:

rad(16) = rad(2⁴) = rad(2) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

Якщо a, b і c є взаємно простими натуральними числами, такими що a + b = c, виявляється, що "зазвичай" c < rad( abc ). Abc-гіпотеза має справу з винятками. Зокрема, в ній зазначено, що:

Для будь-якого додатного дійсного числа ε, існує скінченна кількість трійок (a, b, c) взаємно простих цілих чисел, які задовільняють умову a + b = c, таких, що that

$c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.$

Еквівалентне формулювання:

Для довільного додатного дійсного числа ε, існує константа K_ε така що для всіх трійок взаємно простих цілих чисел (a, b, c) , таких що a + b = c:

$c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.$

Еквівалентно (використовуючи позначення o-маленьке ):

Для всіх трійок (a, b, c) взаємно простих додатних цілих чисел таких, що a + b = c, rad(abc) є щонайменше c^1-o(1).

Четверте еквівалентне формулювання гіпотези включає у себе поняття якості q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ), що визначається як

$q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.$

Наприклад:

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Типова трійка ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c матиме c < rad( abc ), тобто q ( a, b, c ) < 1. Трійки з q > 1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих простих чисел . Третє формулювання:

Для довільного натурального числа ε, існує скінченна кількість трійок (a, b, c) взаємно простих натуральних чисел, що задовільняють умову a + b = c таких, що q(a, b, c) > 1 + ε.

Оскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c таких, що q ( a, b, c ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають q > 1,01 або q > 1,001 або навіть q > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( a, b, c ), яка досягає максимально можливої якості q ( a, b, c ).

Приклади трійок з малим радикалом

Умова ε > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок a, b, c з c > rad( abc ). Наприклад, нехай

$a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.$

Ціле число b ділиться на 9:

$b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).$

Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення:

${\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&=2{\tfrac {b}{3}}\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}$

Замінивши експоненту 6 n іншими експонентами, змусивши b мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і c можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай p > 2 є простим числом і розглянемо

$a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.$

Тепер можна стверджувати, що b ділиться на p ² :

${\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}$

Останній крок використовує той факт, що p ² ділить 2 ^{p ( p −1)} − 1. Це напряму випливає з малої теореми Ферма, яка стверджує, що для p > 2, 2 ^{p −1} = pk + 1 для деякого цілого числа k . Піднесення обох частин до степеня p показує, що 2 ^{p ( p −1)} = p ² (...) + 1.

А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо:

$\operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.$

Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно c ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат (Lando та Zvonkin, 2004) для

a = 2,

b = 3¹⁰·109 = 6436341,

c = 23⁵ = 6436343,

rad(abc) = 15042.

Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:

• Теорема Рота про діофантову апроксимацію алгебраїчних чисел .
• Гіпотеза Морделла (уже доведена Гердом Фалтінгсом ).
• Як еквівалент, гіпотеза Войта в розмірності 1.
• Гіпотеза Ердеша–Вудса, яка допускає кінцеву кількість контрприкладів.
• Існування нескінченної кількості невіферіхових простих чисел у кожній основі b > 1.
• Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел.
• Велика теорема Ферма має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для $n\geq 6$, від ефективної форми слабкої версії гіпотези abc . Гіпотеза abc говорить, що lim sup набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для $n\geq 6$ .
• Гіпотеза Ферма-Каталана, узагальнення останньої теореми Ферма щодо степенів, які є сумами степенів.
• L -функція L ( s, χ _d ), утворена за допомогою символу Лежандра, не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію abc-гіпотези у числових полях, а не лише abc-гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел.
• Многочлен P ( x ) має лише скінченну кількість досконалих степенів для всіх цілих чисел x, якщо P має принаймні три прості нулі .
• Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків y ^m = x ⁿ + k (теорема Тідждемана відповідає випадку k = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо f є бінарною формою без квадратів степеня n > 2, то для довільного дійсного β > 2 існує константа C ( f, β ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел x, y, радикал f ( x, y ) перевищує C · max{| х |, | y |} ^{n − β} .
• Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( abc ) ^{1,2+ ε} .
• показав, що гіпотеза abc означає, що діофантове рівняння n ! + A = k ² має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа A .
• Існує ~ c _f N додатних цілих чисел n ≤ N, для яких f ( n )/B' є вільним від квадратів, де c _f > 0 додатна константа, визначена як:
  $c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).$
• Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо A, B, C, x, y та z є натуральними числами з A ^x + B ^y = C ^z та x, y, z > 2, то A, B, і C мають спільний простий множник. Гіпотеза abc означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
• Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
• Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями.
• Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих.

Теоретичні результати

Abc-гіпотеза передбачає, що c може бути обмежено зверху майже лінійною функцією радикала abc . Відомо, що межі є експоненціальними . Зокрема, було доведено такі межі:

$c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}$ (Stewart та Tijdeman, 1986),

$c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}$ (Stewart та Yu, 1991), та

$c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}$ (Stewart та Yu, 2001).

У даних межах K ₁ і K ₃ є константами, які не залежать від a, b чи c, а K ₂ є константою, яка залежить від ε ( ефективно обчислюваним способом), але не залежить від a, b або c . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких c > 2.

Результати обчислень

У 2006 році математичний факультет Лейденського університету в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, грід- обчислювальну систему, метою якої є виявлення додаткових трійок a, b, c з rad( abc ) < c . Хоча жоден скінченний набір прикладів чи контрприкладів не може довести чи спростувати abc-гіпотезу, є сподівання, що закономірності в трійках, які будуть виявлені цим проектом, приведуть до глибшого розуміння цієї гіпотези.

Розподіл трійок з q > 1

q c	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

Станом на травень 2014 року ABC@Home знайшов 23,8 мільйона трійок.

Трійки найвищої якості

Rank	q	a	b	c	Discovered by
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

Примітка: якість q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ) визначена вище .

Уточнені форми, узагальнення та відповідні твердження

Гіпотеза abc є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.

Сильніша гіпотеза, запропонована , стверджує, що в гіпотезі abc можна замінити rad( abc ) на

ε^−ω rad(abc),

де ω — загальна кількість різних простих чисел, що ділять a, b і c .

Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції ${\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }$ для $\varepsilon >0$ виникає при $\varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.$

Це надихнуло запропонувати чіткішу форму abc-гіпотези, а саме:

$c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}$

де κ є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення $6/5$ було допустимим для κ . Ця версія називається «явною гіпотезою abc ».

також описав гіпотези Ендрю Гранвілья що б дало верхню межу на c виду:

$K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),$

де Ω( n ) — загальна кількість простих множників n, і

$O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},$

де Θ( n ) — кількість цілих чисел до n, які діляться лише на прості числа, що ділять n .

запропонували більш точну нерівність базуючись на . Нехай k = rad(abc). Вони припустили, що існує константа C₁ така що

$c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)$

виконується, тоді коли існує стала C ₂ така, що

$c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)$

виконується нескінченно часто.

сформулювали n- гіпотезу—версію abc гіпотезу для цілих чисел n > 2 .

Заявлені доведення

Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку.

З серпня 2012 року Шінічі Мочізукі заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, abc-гіпотези . Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження abc-гіпотези . Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези. Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння , а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами. Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел.

У березні 2018 року Пітер Шольце та Якоб Стікс відвідали Кіото для обговорення з Мочізукі. Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»; Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення.

3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук, журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті. Кіран Кедлая та Едвард Френкель сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а журнал Nature описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі». У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS.

Дивіться також

• Список нерозв'язаних задач з математики

Джерела

• Baker, Alan (1998). Logarithmic forms and the abc-conjecture. У Győry, Kálmán (ред.). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. с. 37—44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047.
• Baker, Alan (2004). Experiments on the abc-conjecture. Publicationes Mathematicae Debrecen. 65 (3–4): 253—260.
• Bombieri, Enrico (1994). Roth's theorem and the abc-conjecture (Preprint). ETH Zürich.^{[неавторитетне джерело]}
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Т. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
• Browkin, Jerzy; Brzeziński, Juliusz (1994). Some remarks on the abc-conjecture. Math. Comp. 62 (206): 931—939. Bibcode:1994MaCom..62..931B. doi:10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
• Browkin, Jerzy (2000). The abc-conjecture. У Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (ред.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. с. 75–106. ISBN 3-7643-6259-6.
• Dąbrowski, Andrzej (1996). On the diophantine equation x! + A = y². Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321—324. Zbl 0876.11015.
• Elkies, N. D. (1991). ABC implies Mordell. International Mathematics Research Notices. 1991 (7): 99—109. doi:10.1155/S1073792891000144.
• Frey, Gerhard (1997). On Ternary Equations of Fermat Type and Relations with Elliptic Curves. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. с. 527—548. ISBN 0-387-94609-8.
• Goldfeld, Dorian (1996). Beyond the last theorem. Math Horizons. 4 (September): 26—34. doi:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079.
• Goldfeld, Dorian (2002). Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture. У Wüstholz, Gisbert (ред.). A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Based on a conference in honor of Alan Baker's 60th birthday, Zürich, Switzerland, 1999. Cambridge: Cambridge University Press. с. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Zbl 1046.11035.
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ред. (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. с. 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Granville, A. (1998). ABC Allows Us to Count Squarefrees (PDF). International Mathematics Research Notices. 1998 (19): 991—1009. doi:10.1155/S1073792898000592.
• Granville, Andrew; Stark, H. (2000). ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent (PDF). Inventiones Mathematicae. 139 (3): 509—523. Bibcode:2000InMat.139..509G. doi:10.1007/s002229900036.
• Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). It's As Easy As abc (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224—1231. CiteSeerX 10.1.1.146.610.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7.
• . ISBN 3-540-00203-0. {{cite encyclopedia}}: Пропущений або порожній |title= (довідка)
• Langevin, M. (1993). Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc. Comptes rendus de l'Académie des sciences (фр.). 317 (5): 441—444.
• Masser, D. W. (1985). Open problems. У Chen, W. W. L. (ред.). Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory. London: Imperial College.
• Mollin, R.A. (2009). A note on the ABC-conjecture (PDF). Far East Journal of Mathematical Sciences. 33: 267—275. ISSN 0972-0871. Zbl 1241.11034. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 14 червня 2013.
• Mollin, Richard A. (2010). Advanced number theory with applications. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Zbl 1200.11002.
• Nitaj, Abderrahmane (1996). La conjecture abc. Enseign. Math. (фр.). 42 (1–2): 3—24.
• Oesterlé, Joseph (1988), Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165—186, ISSN 0303-1179, MR 0992208
• Pomerance, Carl (2008). Computational Number Theory. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. с. 361—362.
• Silverman, Joseph H. (1988). Wieferich's criterion and the abc-conjecture. Journal of Number Theory. 30 (2): 226—237. doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4. Zbl 0654.10019.
• Robert, Olivier; Stewart, Cameron L.; Tenenbaum, Gérald (2014). A refinement of the abc conjecture (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 46 (6): 1156—1166. doi:10.1112/blms/bdu069.
• Robert, Olivier; Tenenbaum, Gérald (November 2013). Sur la répartition du noyau d'un entier [On the distribution of the kernel of an integer]. Indagationes Mathematicae (фр.). 24 (4): 802—914. doi:10.1016/j.indag.2013.07.007.
• Stewart, C. L.; Tijdeman, R. (1986). On the Oesterlé-Masser conjecture. Monatshefte für Mathematik. 102 (3): 251—257. doi:10.1007/BF01294603.
• Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (1991). On the abc conjecture. Mathematische Annalen. 291 (1): 225—230. doi:10.1007/BF01445201.
• Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (2001). On the abc conjecture, II. Duke Mathematical Journal. 108 (1): 169—181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
• Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). The ABC conjecture implies Vojta's height inequality for curves. J. Number Theory. 95 (2): 289—302. doi:10.1006/jnth.2001.2769. MR 1924103.
• Waldschmidt, Michel (2015). Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences. Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Т. 98. с. 211—230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.

Посилання

• ABC@home Distributed computing project called ABC@Home.
• Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• Weisstein, Eric W. abc Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpage
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
• Questions about Number by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on MathOverflow
• ABC Conjecture Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.
• abc Conjecture Numberphile video
• News about IUT by Mochizuki