Число перетинів (теорія вузлів): відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Створено шляхом перекладу сторінки «Число пересечений (теория узлов)» |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
[[Файл:Crossing_numbers_trefoil.svg|міні| [[Трилисник (вузол)|Трилисник]] без симетрії 3-го порядку з позначеними перетинами ]] |
[[Файл:Crossing_numbers_trefoil.svg|міні| [[Трилисник (вузол)|Трилисник]] без симетрії 3-го порядку з позначеними перетинами ]] |
||
[[Файл:Knot_table.svg|міні| Таблиця всіх [[Простий вузол (теорія вузлів)|простих вузлів]] з сімома або менше перетинами (дзеркальні варіанти не включено) ]] |
[[Файл:Knot_table.svg|міні| Таблиця всіх [[Простий вузол (теорія вузлів)|простих вузлів]] з сімома або менше перетинами (дзеркальні варіанти не включено) ]] |
||
В [[Теорія вузлів|теорії вузлів]] '''число перетинів''' [[Вузол (математика)|вузла]] |
В [[Теорія вузлів|теорії вузлів]] '''число перетинів''' [[Вузол (математика)|вузла]] — це найменше число перетинів на будь-який з діаграм вузла. Число перетинів є [[Інваріант вузла|інваріантом вузла]]. |
||
== Приклади == |
== Приклади == |
||
Як приклад: [[тривіальний вузол]] має нульове число перетинів, число перетинів [[Трилисник (вузол)|трилисника]] дорівнює 3, а число перетинів [[Вісімка (теорія вузлів)|вісімки]] дорівнює 4. Більше немає вузлів з числом перетинів 4 і менше, і є тільки два вузли з числом перетинів 5, але число вузлів з конкретними числами перетинів швидко зростає в міру зростання числа перетинів. |
Як приклад: [[тривіальний вузол]] має нульове число перетинів, число перетинів [[Трилисник (вузол)|трилисника]] дорівнює 3, а число перетинів [[Вісімка (теорія вузлів)|вісімки]] дорівнює 4. Більше немає вузлів з числом перетинів 4 і менше, і є тільки два вузли з числом перетинів 5, але число вузлів з конкретними числами перетинів швидко зростає в міру зростання числа перетинів. |
||
== Таблиці == |
== Таблиці == |
||
Таблиці [[Простий вузол (теорія вузлів)|простих вузлів]] традиційно індексуються числом перетинів з додатковим описом, який саме вузол зі множини вузлів із заданим числом перетинів мають на увазі (це впорядкування не базується на будь-яких властивостях, за винятком [[Торичний вузол|торичних вузлів]], для яких [[ скручений вузол |скручені вузли]] перелічують першими). Список починається з 3<sub>1</sub> (трилисник), 4<sub>1</sub> (вісімка), 5<sub>1</sub> 5<sub>2,</sub> 6<sub>1,</sub> і так далі. Цей порядок істотно не змінився з часів [[Пітер Гатрі Тейт|Тейта]], що опублікував таблицю 1877 року{{Sfn|Tait|1898|с=273—347}}. |
Таблиці [[Простий вузол (теорія вузлів)|простих вузлів]] традиційно індексуються числом перетинів з додатковим описом, який саме вузол зі множини вузлів із заданим числом перетинів мають на увазі (це впорядкування не базується на будь-яких властивостях, за винятком [[Торичний вузол|торичних вузлів]], для яких [[ скручений вузол |скручені вузли]] перелічують першими). Список починається з 3<sub>1</sub> (трилисник), 4<sub>1</sub> (вісімка), 5<sub>1</sub> 5<sub>2,</sub> 6<sub>1,</sub> і так далі. Цей порядок істотно не змінився з часів [[Пітер Гатрі Тейт|Тейта]], що опублікував таблицю 1877 року{{Sfn|Tait|1898|с=273—347}}. |
||
== Адитивність == |
== Адитивність == |
||
Є дуже малий прогрес у розумінні поведінки числа перетинів під час елементарних операцій на вузлах. Велике відкрите питання |
Є дуже малий прогрес у розумінні поведінки числа перетинів під час елементарних операцій на вузлах. Велике відкрите питання — чи є число перетинів адитивним відносно операції [[Зв'язна сума|конкатенації]]. Також очікується, що [[сателітний вузол]] вузла ''K'' матиме більшу кількість перетинів, ніж ''K,'' але це не доведено. |
||
Адитивність числа перетинів конкатенації вузлів доведена для особливих випадків, наприклад, якщо початкові вузли є [[Альтернований вузол|альтернованими]] {{Sfn|Adams|2004|с=69}} або якщо вихідні вузли є [[Торичний вузол|торическими]]{{Sfn|Gruber|2003}}{{Sfn|Diao|2004|с=857–866}}. Марк Лакенбай довів, що існує константа ''N>'' 1, така що <math>\frac{1}{N} (\mathrm{cr}(K_1) + \mathrm{cr}(K_2)) \leq \mathrm{cr}(K_1 + K_2)</math>, але його метод, який використовує {{Нп|Нормальна поверхня|нормальні поверхні|en|Normal surface}}, не може поліпшити ''N'' до 1{{Sfn|Lackenby|2009|с=747—768}}. |
Адитивність числа перетинів конкатенації вузлів доведена для особливих випадків, наприклад, якщо початкові вузли є [[Альтернований вузол|альтернованими]] {{Sfn|Adams|2004|с=69}} або якщо вихідні вузли є [[Торичний вузол|торическими]]{{Sfn|Gruber|2003}}{{Sfn|Diao|2004|с=857–866}}. Марк Лакенбай довів, що існує константа ''N>'' 1, така що <math>\frac{1}{N} (\mathrm{cr}(K_1) + \mathrm{cr}(K_2)) \leq \mathrm{cr}(K_1 + K_2)</math>, але його метод, який використовує {{Нп|Нормальна поверхня|нормальні поверхні|en|Normal surface}}, не може поліпшити ''N'' до 1{{Sfn|Lackenby|2009|с=747—768}}. |
||
== Застосування в біоінформатиці == |
== Застосування в біоінформатиці == |
||
Є дивний зв'язок між числом перетинів вузла і фізичною поведінкою вузлів [[Дезоксирибонуклеїнова кислота|ДНК]]. Для простих вузлів ДНК кількість перетинів є хорошим провісником відносної швидкості вузла ДНК [[Гель-електрофорез|електрофорезу гелю]] агарози. Переважно, більше число перетинів призводить до більшої відносної швидкості{{Sfn|Jonathan|1996|с=39—58}}. |
Є дивний зв'язок між числом перетинів вузла і фізичною поведінкою вузлів [[Дезоксирибонуклеїнова кислота|ДНК]]. Для простих вузлів ДНК кількість перетинів є хорошим провісником відносної швидкості вузла ДНК [[Гель-електрофорез|електрофорезу гелю]] агарози. Переважно, більше число перетинів призводить до більшої відносної швидкості{{Sfn|Jonathan|1996|с=39—58}}. |
||
== Пов'язані інваріанти == |
== Пов'язані інваріанти == |
||
Є пов'язані поняття {{Нп|Середнє число перетинів|середнього числа перетинів|en|Average crossing number}} і асимптотичного числа перетинів. Обидва ці поняття визначають границі стандартного числа перетинів. Є гіпотеза, що асимптотичне число перетинів дорівнює числу перетинів. |
Є пов'язані поняття {{Нп|Середнє число перетинів|середнього числа перетинів|en|Average crossing number}} і асимптотичного числа перетинів. Обидва ці поняття визначають границі стандартного числа перетинів. Є гіпотеза, що асимптотичне число перетинів дорівнює числу перетинів. |
||
Іншими числовими інваріантами вузла є [[Число мостів (теорія вузлів)|число мостів]], [[коефіцієнт зачеплення]], [[Число відрізків (теорія вузлів)|число відрізків]] і [[число розв'язування]]. |
Іншими числовими інваріантами вузла є [[Число мостів (теорія вузлів)|число мостів]], [[коефіцієнт зачеплення]], [[Число відрізків (теорія вузлів)|число відрізків]] і [[число розв'язування]]. |
||
== Примітки == |
== Примітки == |
||
Рядок 26: | Рядок 26: | ||
== Література == |
== Література == |
||
* {{книга-ру |
|||
| часть=Energy functions for knots: Beginning to predict physical behavior |
|||
| заглавие=Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics |
|||
| серия=The IMA Volumes in Mathematics and its Applications |
|||
| том=82 |
|||
| год=1996 |
|||
| автор=Simon Jonathan |
|||
| doi=10.1007/978-1-4612-4066-2_4 |
|||
| ответственный=Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners |
|||
| ref= Jonathan |
|||
}} |
|||
* {{книга-ру |
|||
| автор=P. G. Tait |
|||
| часть=On Knots I, II, III |
|||
| заглавие=Scientific papers |
|||
| том=1 |
|||
| издательство=Cambridge University Press |
|||
| год=1898 |
|||
|ref= Tait |
|||
}} |
|||
* {{книга-ру |
|||
| автор=C. A. Adams |
|||
| год=2004 |
|||
| заглавие=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots |
|||
| издательство=American Mathematical Society |
|||
| isbn= 9780821836781 |
|||
| ссылка=https://books.google.com/books?id=M-B8XedeL9sC&pg=PA69 |
|||
|ref= Adams |
|||
}} |
|||
* {{статья |
|||
| автор= H. Gruber |
|||
| заглавие=Estimates for the minimal crossing number |
|||
| arxiv=math/0303273 |
|||
| год=2003 |
|||
|ref= Gruber |
|||
}} |
|||
* {{статья |
|||
| автор = Yuanan Diao |
|||
| doi = 10.1142/S0218216504003524 |
|||
| выпуск= 7 |
|||
| издание= Journal of Knot Theory and its Ramifications |
|||
| mr = 2101230 |
|||
| заглавие = The additivity of crossing numbers |
|||
| том = 13 |
|||
| год = 2004 |
|||
|ref= Diao |
|||
}} |
|||
* {{статья |
|||
| автор = Marc Lackenby |
|||
| doi = 10.1112/jtopol/jtp028 |
|||
| выпуск= 4 |
|||
| издание= Journal of Topology |
|||
| mr = 2574742 |
|||
| заглавие = The crossing number of composite knots |
|||
| ссылка= http://www.maths.ox.ac.uk/~lackenby/csk16058.ps |
|||
| том = 2 |
|||
| год = 2009 |
|||
|ref= Lackenby |
|||
}} |
|||
{{Теорія вузлів}} |
|||
[[Категорія:Теорія вузлів]] |
[[Категорія:Теорія вузлів]] |
Версія за 17:46, 1 серпня 2020
В теорії вузлів число перетинів вузла — це найменше число перетинів на будь-який з діаграм вузла. Число перетинів є інваріантом вузла.
Приклади
Як приклад: тривіальний вузол має нульове число перетинів, число перетинів трилисника дорівнює 3, а число перетинів вісімки дорівнює 4. Більше немає вузлів з числом перетинів 4 і менше, і є тільки два вузли з числом перетинів 5, але число вузлів з конкретними числами перетинів швидко зростає в міру зростання числа перетинів.
Таблиці
Таблиці простих вузлів традиційно індексуються числом перетинів з додатковим описом, який саме вузол зі множини вузлів із заданим числом перетинів мають на увазі (це впорядкування не базується на будь-яких властивостях, за винятком торичних вузлів, для яких скручені вузли перелічують першими). Список починається з 31 (трилисник), 41 (вісімка), 51 52, 61, і так далі. Цей порядок істотно не змінився з часів Тейта, що опублікував таблицю 1877 року[1].
Адитивність
Є дуже малий прогрес у розумінні поведінки числа перетинів під час елементарних операцій на вузлах. Велике відкрите питання — чи є число перетинів адитивним відносно операції конкатенації. Також очікується, що сателітний вузол вузла K матиме більшу кількість перетинів, ніж K, але це не доведено.
Адитивність числа перетинів конкатенації вузлів доведена для особливих випадків, наприклад, якщо початкові вузли є альтернованими [2] або якщо вихідні вузли є торическими[3][4]. Марк Лакенбай довів, що існує константа N> 1, така що , але його метод, який використовує нормальні поверхні[en], не може поліпшити N до 1[5].
Застосування в біоінформатиці
Є дивний зв'язок між числом перетинів вузла і фізичною поведінкою вузлів ДНК. Для простих вузлів ДНК кількість перетинів є хорошим провісником відносної швидкості вузла ДНК електрофорезу гелю агарози. Переважно, більше число перетинів призводить до більшої відносної швидкості[6].
Пов'язані інваріанти
Є пов'язані поняття середнього числа перетинів[en] і асимптотичного числа перетинів. Обидва ці поняття визначають границі стандартного числа перетинів. Є гіпотеза, що асимптотичне число перетинів дорівнює числу перетинів.
Іншими числовими інваріантами вузла є число мостів, коефіцієнт зачеплення, число відрізків і число розв'язування.
Примітки
- ↑ Tait, 1898, с. 273—347.
- ↑ Adams, 2004, с. 69.
- ↑ Gruber, 2003.
- ↑ Diao, 2004, с. 857–866.
- ↑ Lackenby, 2009, с. 747—768.
- ↑ Jonathan, 1996, с. 39—58.
Література
- Simon Jonathan. Energy functions for knots: Beginning to predict physical behavior // Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
- P. G. Tait. On Knots I, II, III // Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
- C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
- H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
- Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вип. 7. — DOI:10.1142/S0218216504003524.
- Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вип. 4. — DOI:10.1112/jtopol/jtp028.
|