Метод стаціонарної фази

Метод стаціонарної фази (наближення стаціонарної фази) — основний методом асимптотичного аналізу у математиці та математичній фізиці, що застосовується до інтегралів, підінтегральна фукція яких осицилює, тобто інтегралів на кшталт:

$I(k) = \int g(x) e^{ikf(x)}\,dx$

що беруться по n-вимірному просторі Rⁿ де i — уявна одиниця. Тут f і g — дійснозначні гладкі функції. Роль g — забезпечення збіжності; тобто , g — функція критерію. Велике дійсне число k розглядається в границі k → ∞.

Основи

Основна ідея методу стаціонарної фази полягає в скорочуванні синусоїд з у швидкозмінною фазою. Якщо багато синусоїд мають однакові фази, то вони додаються, підсилюючи одна одну. Якщо, проте, ці ж синусоїди мають фази, які швидко змінюються частотою, вони будуть додаватись, погашуючи одна одну.

Приклад

Розглянемо функцію

$f(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} F(\omega) e^{i(kx - \omega t)} d\omega$

Фазовий доданок в цій функції, $\phi = kx - \omega t$ є "стаціонарним" коли

$\frac{d}{d\omega}\left(k\left(\omega\right)x - \omega t\right) \approx 0$

або еквівалентно,

$\frac{d\omega}{dk} \approx \frac{x}{t}$

Розвязок цього рівняння дає домінуючу частоту $\omega_{dom}(x, t)$ для даних $x$ і $t$. Якщо ми розкладемо $\phi$ в ряд Тейлора поблизу $\omega_{dom}$ і знехтуємо доданками порядку вищого ніж $(\omega - \omega_{dom})^2$, то

$\phi \sim k(\omega_{dom})x - \omega_{dom} t + \frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2$

Коли $x$ велике, навіть мала різинця $\omega-\omega_{dom}$ згенерує швидку осциляцію в інтегралі, приводячи до скорочення. Таким чином, ми можемо розширити границі інтегрування поза границі розкалду в ряд Тейлора. Якщо ми подвоїмо вклад дійсної частини з додатніх частот перетворення щоб врахувати відємні частоти:

$f(x, t) = \frac{1}{2\pi} 2 \mbox{Re}\left\{ \exp\left[i\left[k(\omega_{dom})x-\omega_{dom}t\right]\right] \left|F(\omega_{dom})\right| \int_{\mathbb{R}}\exp\left[i\frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2\right]d\omega\right\}$

Проінтегрувавши, маємо

$f(x, t) \sim \frac{\left|F(\omega_{dom})\right|}{\pi} \sqrt{ \frac{2\pi}{x\left|\frac{d^2k}{d\omega^2}\right|}} \cos\left[ k(\omega_{dom})x - \omega_{dom}t \pm \frac{\pi}{4}\right]$

Джерела

• Прилепко А. И., Калиниченко Д. Ф. Асимптотические методы и специальные функции. — М.: МИФИ, 1980. — 107 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Физматлит, 1999. — 319 с. — ISBN 5-02-015233-1
• Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. — 366 с.

Див. також

• Метод перевала
• Метод Лапласа