Метод стаціонарної фази

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод стаціонарної фази (наближення стаціонарної фази) — основний методом асимптотичного аналізу у математиці та математичній фізиці, що застосовується до інтегралів, підінтегральна фукція яких осицилює, тобто інтегралів на кшталт:

I(k) = \int g(x) e^{ikf(x)}\,dx

що беруться по n-вимірному просторі Rn де iуявна одиниця. Тут f і g — дійснозначні гладкі функції. Роль g — забезпечення збіжності; тобто , gфункція критерію. Велике дійсне число k розглядається в границі k → ∞.

Основи[ред.ред. код]

Основна ідея методу стаціонарної фази полягає в скорочуванні синусоїд з у швидкозмінною фазою. Якщо багато синусоїд мають однакові фази, то вони додаються, підсилюючи одна одну. Якщо, проте, ці ж синусоїди мають фази, які швидко змінюються частотою, вони будуть додаватись, погашуючи одна одну.

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо функцію

f(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} F(\omega) e^{i(kx - \omega t)} d\omega

Фазовий доданок в цій функції, \phi = kx - \omega t є "стаціонарним" коли

\frac{d}{d\omega}\left(k\left(\omega\right)x - \omega t\right) \approx 0

або еквівалентно,

\frac{d\omega}{dk} \approx \frac{x}{t}

Розвязок цього рівняння дає домінуючу частоту \omega_{dom}(x, t) для даних x і t. Якщо ми розкладемо \phi в ряд Тейлора поблизу \omega_{dom} і знехтуємо доданками порядку вищого ніж (\omega - \omega_{dom})^2, то

\phi \sim k(\omega_{dom})x - \omega_{dom} t + \frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2

Коли x велике, навіть мала різинця \omega-\omega_{dom} згенерує швидку осциляцію в інтегралі, приводячи до скорочення. Таким чином, ми можемо розширити границі інтегрування поза границі розкалду в ряд Тейлора. Якщо ми подвоїмо вклад дійсної частини з додатніх частот перетворення щоб врахувати відємні частоти:

f(x, t) = \frac{1}{2\pi} 2 \mbox{Re}\left\{ \exp\left[i\left[k(\omega_{dom})x-\omega_{dom}t\right]\right] \left|F(\omega_{dom})\right| \int_{\mathbb{R}}\exp\left[i\frac{x}{2}\frac{d^2k}{d\omega^2}(\omega-\omega_{dom})^2\right]d\omega\right\}

Проінтегрувавши, маємо

f(x, t) \sim \frac{\left|F(\omega_{dom})\right|}{\pi} \sqrt{ \frac{2\pi}{x\left|\frac{d^2k}{d\omega^2}\right|}} \cos\left[ k(\omega_{dom})x - \omega_{dom}t \pm \frac{\pi}{4}\right]


Джерела[ред.ред. код]

  • Прилепко А. И., Калиниченко Д. Ф. Асимптотические методы и специальные функции. — М.: МИФИ, 1980. — 107 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Физматлит, 1999. — 319 с. — ISBN 5-02-015233-1.
  • Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. — 366 с.

Див. також[ред.ред. код]