Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

Нехай функція $\ f(x)$ нескінченно диференційована в деякому околі точки $\ a,$ тоді ряд

$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$

має назву ряда Тейлора функції $\ f$ у точці $\ a.$. У випадку, якщо $a=0$ цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Якщо $\ f$ є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці $\ a$ області визначення збігається до $\ f$ в деякому околі $\ a$.

Формула Тейлора

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

• Нехай функція $\ f(x)$ має $\ n+1$ похідну в деякому околі точки $\ a$, $\ U(a ,\epsilon )$
• Нехай $\ x\in U(a,\epsilon)$
• Нехай $\ p$ — довільне додатнє число

тоді: $\exists \xi \in (x,a)$ при $\ x < a$ або $\ \xi\in (a,x)$ при $\ x > a$:

$f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)$

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші́ і Пеа́но

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1$

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1$

послабимо припущення:

• Нехай функція $f(x)\,\!$ має $n-1\,\!$ похідних у деякому околі точки ${a}$
• І $n\,\!$ похідних у самій точці ${a}\,\!$

тоді:

$R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!$

Розклад Тейлора для деяких функцій

Нижче наведені розклади за формулою Тейлора деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n}$      для $\left| x \right| < 1$

Геометричний ряд:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n$      для $\left| x \right| < 1$

Біноміальний розклад:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n$      для $\left| x \right| < 1\quad\mbox{ }$ і усіх комплексних $\alpha$

Тригонометричні функції:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

$\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$      для $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$      для $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$      для $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$      для $\left| x \right| < 1$

Гіперболічні функції:

$\operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$\operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$

$\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$      для $\left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$      для $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$      для $\left| x \right| < 1$

Назва

Ряд Тейлора названий на честь англійського математика Брука Тейлора, який відкрив його в період між 1712 і 1715 роками.

Див. також

• Ряд Фур'є

Література

• В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический Анализ» ч.1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.