Оператор повного моменту

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Опера́тор по́вного моме́нту квантовомеханічної частки  \hat{\mathbf{J}} визначається як сума оператора кутового моменту й оператора спіну

 \hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}

В цій формулі оператори кутового моменту й спіну системи можуть бути сумою відповідних операторів складових частин.

В залежності від сумарного спіну системи повний момент може бути цілим і напівцілим.

Властні значення й власні вектори[ред.ред. код]

Оскільки оператори спіну й кутового моменту діють на різні змінні, то вони комутують між собою. У такому випадку оператор повного моменту й оператори кутового моменту й спіну мають спільну систему власних функції.

Для z-вої компоненти оператора повного моменту матимемо

 m_j = m_l + m_s \!

У випадку, коли орбітальне квантове число дорівнює l, а спінове квантове число s, можна побудувати (2l+1)(2s+1) добутків власних функцій із різними магнітними числами ml і ms. Ці функції зручно згрупувати таким чином, щоб визначити квантове число повного моменту j, яке може приймати значення від l+s до |l-s|. Для кожного j квантове число mj пробігає значення -j, -j+1, … j-1, j.

Власні функції оператора повного моменту є добутками власних фунцій операторів кутового моменту й оператора спіну.

Наприклад, при l = 1 і s= 1/2, існує 3\cdot 2 =6 різних комбінацій ml (-1, 0,1) і ms (−1/2, 1/2). Вони розбиваються на дві групи з j = 3/2 (mj = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2) та j = 1/2 (mj = −1/2, 1/2).

Власне значення оператора квадрата повного моменту дорівнює j(j+1).

Закон збереження[ред.ред. код]

Загалом при врахування релятивістських ефектів, які призводять до спін-орбітальної взаємодії z-ва компонетна оператора кутового моменту й оператора спіну не комутує із гамільтоніаном, тож власні значення цих операторів не є інтегралами руху. Зберігається лише повний момент, тобто j та mj залишаються квантовими числами.