Повна похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Повна похідна функції — похідна функції по часу вздовж траєкторії. Нехай функція має вигляд f(t, u, v, \dots, z) і її аргументи залежать від часу: u=u(t, x_1, \dots, x_n), v=v(t, x_1, \dots, x_n), \dots, z=z(t, x_1, \dots, x_n). Тоді f(t,u,v,\dots,z)=g(t,x_1,\dots,x_n), де x_1,\dots,x_n — параметри, що задають траєкторію. Повна похідна функції f (у точці (t,u,v,\dots,z)) у такому випадку дорівнює частковій похідній g по часу (у відповідній точці (t,x_1,\dots,x_n)) і обчислюється за формулою:

{ df \over dt }=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}+\dots + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t},

де \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial u}, \dots, \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial u}{\partial t}, \dots, \frac{\partial z}{\partial t} — часткові похідні. Варто зазначити, що позначення  \frac{df}{dt} є умовним і не стосується операції ділення диференціалів. Окрім цього, повна похідна функції залежить не лише від самої функції, але й від траєкторії.

Наприклад, повна похідна функції f(x(t), y(t)):

{ df \over dt } = { \partial f \over \partial x}{ dx \over dt }+{ \partial f \over \partial y}{ dy \over dt }

Тут немає { \partial f \over \partial t }, оскільки f сама («явно») не залежить від t.

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]