Часткова похідна

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Означення

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

$f(x,y) = x^2 + xy + y^2.$

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

$f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.$

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція f_x, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,

$x \mapsto f_x,$

$f_x(y) = x^2 + xy + y^2.$

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

$f_a(y) = a^2 + ay + y^2.$

В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже f_a - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:

$f_a'(y) = a + 2y.$

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

$\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.$

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x₁,...,x_n) за змінною x_i в точці (a₁,...,a_n) записують так:

$\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}.$

В цьому різницевому відношенні усі змінні, крім x_i, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x₁,...x_n) в евклідовому просторі Rⁿ (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂x_j по кожній змінній x_j. В точці a, ці часткові похідні визначають вектор

$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).$

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функія ∇f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади

Об’єм конуса залежить від висоти та радіусу.

Припустимо V — об'єм конуса; він залежиить від висоти h та радіусу r за формулою

$V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.$

часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}.$

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті. Часткова похідна за висотою h

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}$

і вона показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти та сталому радіусі.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname dh}{\operatorname dr}$

та

$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname dr}{\operatorname dh}$

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом стале: k:

$k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname dh}{\operatorname dr}$

Це дає повну похідну:

$\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}$

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

Нотація

Нехай надалі f — функція, залежна від x, y та z.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.$

Часткові похідні другого порядку:

$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f.$

Мішані похідні другого порядку:

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy} = \partial_{xy} f.$

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

$\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}.$

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як статистична механіка, часткова похідна функції f за змінною x, при зафіксованих y та z, часто записується так:

$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}.$

Формальне означення та властивості

Як і звичайні похідні, часткова похідна означається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rⁿ та f: U → R. Частковою похідною функції f в точці a = (a₁, ..., a_n) ∈ U за i-ю змінною x_i є

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂x_i(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C¹. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : U → R^m), покомпонентно вибираючи аргумент.

Часткову похідну $\frac{\partial f}{\partial x}$ можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C²; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.$

Джерела

• Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.