Часткова похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fx або ∂f/∂x. Символ часткової похідної — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Означення[ред.ред. код]

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

f(x,y) = x^2 + xy + y^2.

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,

x \mapsto f_x,
f_x(y) = x^2 + xy + y^2.

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²:

f_a(y) = a^2 + ay + y^2.

В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже fa - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:

f_a'(y) = a + 2y.

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x1,...,xn) за змінною xi в точці (a1,...,an) записують так:

\frac{\part f}{\part x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}.

В цьому різницевому відношенні усі змінні, крім xi, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x1,...xn) в евклідовому просторі Rn (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂xj по кожній змінній xj. В точці a, ці часткові похідні визначають вектор

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функія ∇f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади[ред.ред. код]

Припустимо Vоб'єм конуса; він залежиить від висоти h та радіусу r за формулою

V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.

часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}.

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті. Часткова похідна за висотою h

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}

і вона показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти та сталому радіусі.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname dh}{\operatorname dr}

та

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname dr}{\operatorname dh}

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом стале: k:

k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname dh}{\operatorname dr}

Це дає повну похідну:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

Нотація[ред.ред. код]

Нехай надалі f — функція, залежна від x, y та z.

Часткові похідні першого порядку мають вигляд:

\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.

Часткові похідні другого порядку:

\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f.

Мішані похідні другого порядку:

\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy} = \partial_{xy} f.

Часткові та мішані похідні вищих порядків:

\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}.

Коли йдеться про функції багатьох змінних, варто звернути увагу на те, що деякі з них можуть залежати від інших, і може виникнути потреба в уточненні змінних, котрі є сталими. У таких дисциплінах, як статистична механіка, часткова похідна функції f за змінною x, при зафіксованих y та z, часто записується так:

\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}.

Формальне означення та властивості[ред.ред. код]

Як і звичайні похідні, часткова похідна означається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rn та f: UR. Частковою похідною функції f в точці a = (a1, ..., an) ∈ U за i-ю змінною xi є

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂xi(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C1. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : URm), покомпонентно вибираючи аргумент.

Часткову похідну \frac{\partial f}{\partial x} можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C2; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.