Диференціал (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної

Диференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення.

В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов’язаний з dx формулою:

\mathrm d y = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\, \mathrm d x,

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δyx де Δx прямує до нуля.


  1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.[1]
  2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.[2]

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

Історія і використання[ред.ред. код]

Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. Архімед використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескіченно малими величинами можуть бути точні.[3] Бхаскара II розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін.[4] Шараф аль-Дін аль-Тусі використовувах їх для обчислення похідної кубічного рівняння.[5][6] Ісаак Ньютон називав їх похідними. Проте Лейбніц був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо x – змінне число тоді dx позначає нескінченно малий приріст змінної x. Таким чином, якщо y функція від x, тоді похідна y по змінній x часто позначається \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) {\dot y}(x) чи y'(x). Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції y(x) дорівнює нахилу функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити границю відношення \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} приросту y в залежності від приросту x, якщо приріст x прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад dx маю таку саму розмірність як і змінна x.

Диференціал використовують в позначенні інтеграла, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

\int f(x) \, {\mathrm d}x,

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал dx позначає нескінченно тонку ширину.

Формальні означення[ред.ред. код]

Випадок однієї змінної[ред.ред. код]

Нехай в околиці точки x_0 задана функція f(x): X \rightarrow Y.

нехай існує таке A, що f(x)-f(x_0)=A (x-x_0) + o(x-x_0) при x \rightarrow x_0.

Позначим x-x_0=dx.

Тоді функція df=Adx називається диференціалом функції f(x) в точці x_0.

Випадок багатьох змінних[ред.ред. код]

Нехай в околі точки \overrightarrow{x_0}=\{x_0^1,x_0^2,...,x_0^n\} задана функція багатьох змінних f(\overrightarrow{x}): X \rightarrow Y.

Нехай існує такий вектор \overrightarrow{A}=\{A^1,A^2,...,A^n\}, що f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{A} (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}) + o(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}) при \overrightarrow{x} \rightarrow \overrightarrow{x_0}, де добуток векторів є скалярним добутком.

Позначим \overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{dx}=\{{dx}^1,{dx}^2,...,{dx}^n\}.

Тоді функція df=\overrightarrow{A}\overrightarrow{dx} називатиметься диференціалом функції f(\overrightarrow{x}) в точці \overrightarrow{x_0}.

Відображення між евклідовими просторами[ред.ред. код]

Також поняття диференціала можна ввести для відображення між евклідовими просторами ƒ Rn → Rm. Нехай xx ∈ Rn — два вектори в просторі Rn. Зміна значення функції ƒ при зміні аргумента на Δx рівна:

\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).

Якщо існує m × n матриця A для якої

\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}

де вектор ε → 0 при Δx → 0, тоді ƒ називається диференційовною в точці x. Матриця A називається матрицею Якобі, а лінійне перетворення, що ставить у відповідності вектору Δx ∈ Rn вектор AΔx ∈ Rm називається диференціалом (x) відображення ƒ в точці x.

Відображення між многовидами[ред.ред. код]

Диференціал в точці x \in M гладкого відображення із гладкого многовиду в многовид F\colon M\to N визначається як лінійне відображення між дотичними просторами в точках x \in M і F(x) \in N, тобто dF\colon T_x M\to T_{F(x)}N, таке що для довільної гладкої в точці F(x) функції g\colon N\to\R виконується рівність:

dF(X)g=X(g\circ F), \quad \forall X \in T_x M.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46800-0 
  2. Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5 
  3. Boyer, Carl B. (1991), «Archimedes of Syracuse», A History of Mathematics (2nd вид.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0471543977 
  4. George G. Joseph (2000), The Crest of the Peacock, pp. 298-300, Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
  5. J. L. Berggren (1990), "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2): 304-9
  6. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi в архіві MacTutor (англ.)

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.