Регулярна матриця Адамара
Регулярна матриця Адамара — це матриця Адамара, в якої суми за рядками і стовпцями рівні. Тоді як порядок матриці Адамара має бути 1, 2 або кратним 4, регулярні матриці Адамара задовольняють подальшим обмеженням, що порядок дорівнює повному квадрату. Лишок, що позначається E(H), матриці Адамара H порядку n визначається як сума елементів матриці H. Лишок задовольняє обмеженню . Матриця Адамара досягає цієї межі тоді й лише тоді, коли вона регулярна.
Параметри[ред. | ред. код]
Якщо — порядок регулярної матриці Адамара, то її лишок дорівнює , а суми рядків та стовпців рівні . Звідси випливає, що кожен рядок має додатних елементів та від'ємних. З ортогональності рядків випливає, що будь-які два різні рядки мають рівно спільних додатних елементів. Якщо H інтерпретувати як матрицю інцидентності блок-схеми, коли 1 означає суміжність, а −1 означає неінцидентність, то матриця H відповідає симетричній -схемі з параметрами . Схему з цими параметрами називають схемою Менона.
Побудова[ред. | ред. код]
Нерозв'язана проблема математики: Які повні квадрати можуть бути порядком регулярної матриці Адамара? (більше нерозв'язаних проблем математики)
|
Відомо кілька методів побудови регулярних матриць Адамара і проведено кілька вичерпних комп'ютерних пошуків для регулярних матриць Адамара з певними групами симетрії, але не відомо, чи кожен повний парний квадрат є порядком регулярної матриці Адамара. Матриці Адамара типу Буша є регулярними матрицями Адамара спеціального вигляду та пов'язані зі скінченними проєктивними площинами.
Історія та найменування[ред. | ред. код]
Подібно до загальних матриць Адамара, регулярні матриці Адамара названо на честь Жака Адамара. Схему Менона названо ім'ям індійського математика П. Кешава Менона[en], а матриці Адамара типу Буша названо ім'ям Кеннета А. Буша.
Література[ред. | ред. код]
- The CRC Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn C.J., Dinitz J.H. (ed.). — 2nd ed. — Florida. : CRC Press, Boca Raton, 2006.
- W. D. Wallis, Anne Penfold Street, Jennifer Seberry Wallis. Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices. — Berlin : Springer-Verlag, 1972.