Рівняння ББГКІ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Боголюбова-Борна-Гріна-Керквуда-Івона, скорочено ББГКІ — ієрархічний ланцюжок рівнянь для n-частинкових функцій розподілу класичної системи частинок, що використовується для опису рідин. Кожне з рівнянь ланцюжка отримується усередненням рівняння Ліувіля для функції розподілу всієї системи по координатах та імпульсах  N - n частинок, де N - число частинок в системі. Як наслідок, рівняння для n-частинкової функції розподілу містить член із (n+1)-частинковою функцією розподілу.

Формулювання[ред.ред. код]

Функція розподілу системи N класичних частинок, що взаємодіють між собою,  f_N(\mathbf{r}_i, \mathbf{p}_i, t) визначена в 6N-вимірному фазовому просторі. Нехай частинки взаємодіють між собою попарно, і потенціал цієї взаємодії задається функцією  V_{ij}(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j) . Крім того, для загальності, на кожну з частинок може діяти зовнішня сила, потенціал якої задається функцією  U_{ij}(\mathbf{r}_i) . За теоремою Ліувіля функція розподілу задовольняє рівнянню:


\frac{\partial f_N}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \dot{\mathbf{r}}_i \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{r}_i} 
+ \sum_{i=1}^N \left( - \frac{\partial U_i}{\partial \mathbf{r}_i} - \sum_{j=1}^N \frac{\partial V_{ij}}{\partial \mathbf{r}_i} \right) \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{p}_i} = 0.

Це рівняння можна проінтегрувати по змінних усіх частинок, крім однієї. Тоді в усіх його членах, крім члена з парною взаємодією, з'явиться одночастинкова функція розподілу, а член з парною взаємодією можна буде проінтегрувати по N-2 змінних. При цьому залишиться інтеграл від двочастинкової функції розподілу:


\frac{\partial f_1}{\partial t} +  \dot{\mathbf{r}}_1 \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{r}_1} - \frac{\partial U_i}{\partial \mathbf{r}_1} \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{p}_1}  =  \left( N -1 \right)  \int \frac{\partial V_{1,2}}{\partial \mathbf{r}_1} \frac{\partial f_{2}}{\partial \mathbf{p}_1}  \,d\mathbf{r}_{2} d\mathbf{p}_{2}.

Аналогічно, при інтегруванні по змінних усіх частинок, крім двох, вийде рівняння яке міститиме двочастинкову фукнцію розподілу й інтеграл від тричастинкової фукнції розподілу. В загальному випадку для n-частинкової функції розподілу:


\frac{\partial f_n}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \dot{\mathbf{r}}_i \frac{\partial f_n}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^n \left( - \frac{\partial U_i}{\partial \mathbf{r}_i} - \sum_{j=1}^n \frac{\partial V_{ij}}{\partial \mathbf{r}_i} \right) \frac{\partial f_n}{\partial \mathbf{p}_i} = \sum_{i=1}^n \left( N -n \right)  \int \frac{\partial V_{i,n+1}}{\partial \mathbf{r}_i} \frac{\partial f_{n+1}}{\partial \mathbf{p}_i} \,d\mathbf{r}_{n+1} d\mathbf{p}_{n+1}.

Як наслідок виникає ланцюжок рівнянь, у яких n-частинкова функція розподілу зв'язана з (n+1)-частинковою фукнцією розподілу. Цей ланцюжок рівнянь точний, і розв'язувати його не легше, ніж знаходити розв'язок вихідного рівняння. Однак, зазвичай його обривають, роблячи припущення про залежність наступної функції розподілу від попередніх.

Історія[ред.ред. код]

n-частинкові функції розподілу запровадив Жак Івон у 1935[1]. 1945 року ієрархічний ланцюжок рівнянь отримав Микола Боголюбов[2][3]. Джон Керквуд розглянув кінетичний транспорт в роботі[4], поданій у журнал у жовтні 1945 і опублікованій у березні 1946, а також в наступних роботах[5]. Макс Борн та Герберт Грін розглянули загальну кінетику рідин в статті, отриманій редакцією в лютому 1946 і опублікованій в грудні 1946[6].

Виноски[ред.ред. код]

  1. J. Yvon (1935): La théorie statistique des fluides et l'équation d'état (in French), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Paris, Hermann).
  2. N. N. Bogoliubov Kinetic Equations // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 16 (1946) (8) С. 691–702.
  3. N. N. Bogoliubov Kinetic Equations // Journal of Physics USSR. — 10 (1946) (3) С. 265–274.
  4. John G. Kirkwood The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory // The Journal of Chemical Physics. — 14 (March 1946) (3) С. 180. DOI:10.1063/1.1724117.
  5. John G. Kirkwood The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes II. Transport in Gases // The Journal of Chemical Physics. — 15 (January 1947) (1) С. 72. DOI:10.1063/1.1746292.
  6. M. Born and H. S. Green A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions // Proc. Roy. Soc. A. — 188 (31 December 1946) С. 10–18. DOI:10.1098/rspa.1946.0093.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.