Рівняння ББГКІ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Боголюбова-Борна-Гріна-Керквуда-Івона, скорочено ББГКІ — ієрархічний ланцюжок рівнянь для n-частинкових функцій розподілу класичної системи частинок, що використовується для опису рідин. Кожне з рівнянь ланцюжка отримується усередненням рівняння Ліувіля для функції розподілу всієї системи по координатах та імпульсах  N - n частинок, де N - число частинок в системі. Як наслідок, рівняння для n-частинкової функції розподілу містить член із (n+1)-частинковою функцією розподілу.

Формулювання[ред.ред. код]

Функція розподілу системи N класичних частинок, що взаємодіють між собою,  f_N(\mathbf{r}_i, \mathbf{p}_i, t) визначена в 6N-вимірному фазовому просторі. Нехай частинки взаємодіють між собою попарно, і потенціал цієї взаємодії задається функцією  V_{ij}(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j) . Крім того, для загальності, на кожну з частинок може діяти зовнішня сила, потенціал якої задається функцією  U_{ij}(\mathbf{r}_i) . За теоремою Ліувіля функція розподілу задовольняє рівнянню:


\frac{\partial f_N}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \dot{\mathbf{r}}_i \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{r}_i} 
+ \sum_{i=1}^N \left( - \frac{\partial U_i}{\partial \mathbf{r}_i} - \sum_{j=1}^N \frac{\partial V_{ij}}{\partial \mathbf{r}_i} \right) \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{p}_i} = 0.

Це рівняння можна проінтегрувати по змінних усіх частинок, крім однієї. Тоді в усіх його членах, крім члена з парною взаємодією, з'явиться одночастинкова функція розподілу, а член з парною взаємодією можна буде проінтегрувати по N-2 змінних. При цьому залишиться інтеграл від двочастинкової функції розподілу:


\frac{\partial f_1}{\partial t} +  \dot{\mathbf{r}}_1 \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{r}_1} - \frac{\partial U_i}{\partial \mathbf{r}_1} \frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{p}_1}  =  \left( N -1 \right)  \int \frac{\partial V_{1,2}}{\partial \mathbf{r}_1} \frac{\partial f_{2}}{\partial \mathbf{p}_1}  \,d\mathbf{r}_{2} d\mathbf{p}_{2}.

Аналогічно, при інтегруванні по змінних усіх частинок, крім двох, вийде рівняння яке міститиме двочастинкову фукнцію розподілу й інтеграл від тричастинкової фукнції розподілу. В загальному випадку для n-частинкової функції розподілу:


\frac{\partial f_n}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \dot{\mathbf{r}}_i \frac{\partial f_n}{\partial \mathbf{r}_i} + \sum_{i=1}^n \left( - \frac{\partial U_i}{\partial \mathbf{r}_i} - \sum_{j=1}^n \frac{\partial V_{ij}}{\partial \mathbf{r}_i} \right) \frac{\partial f_n}{\partial \mathbf{p}_i} = \sum_{i=1}^n \left( N -n \right)  \int \frac{\partial V_{i,n+1}}{\partial \mathbf{r}_i} \frac{\partial f_{n+1}}{\partial \mathbf{p}_i} \,d\mathbf{r}_{n+1} d\mathbf{p}_{n+1}.

Як наслідок виникає ланцюжок рівнянь, у яких n-частинкова функція розподілу зв'язана з (n+1)-частинковою фукнцією розподілу. Цей ланцюжок рівнянь точний, і розв'язувати його не легше, ніж знаходити розв'язок вихідного рівняння. Однак, зазвичай його обривають, роблячи припущення про залежність наступної функції розподілу від попередніх.

Історія[ред.ред. код]

n-частинкові функції розподілу запровадив Жак Івон у 1935[1]. 1945 року ієрархічний ланцюжок рівнянь отримав Микола Боголюбов[2][3]. Джон Керквуд розглянув кінетичний транспорт в роботі[4], поданій у журнал у жовтні 1945 і опублікованій у березні 1946, а також в наступних роботах[5]. Макс Борн та Герберт Грін розглянули загальну кінетику рідин в статті, отриманій редакцією в лютому 1946 і опублікованій в грудні 1946[6].

Виноски[ред.ред. код]

  1. J. Yvon (1935): La théorie statistique des fluides et l'équation d'état (in French), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Paris, Hermann).
  2. N. N. Bogoliubov (1946). «Kinetic Equations». Journal of Experimental and Theoretical Physics (Russian) 16 (8). с. 691–702. 
  3. N. N. Bogoliubov (1946). «Kinetic Equations». Journal of Physics USSR 10 (3). с. 265–274. 
  4. John G. Kirkwood (March 1946). «The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory». The Journal of Chemical Physics 14 (3). с. 180. Bibcode:1946JChPh..14..180K. doi:10.1063/1.1724117. 
  5. John G. Kirkwood (January 1947). «The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes II. Transport in Gases». The Journal of Chemical Physics 15 (1). с. 72. Bibcode:1947JChPh..15...72K. doi:10.1063/1.1746292. 
  6. M. Born and H. S. Green (31 December 1946). «A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions». Proc. Roy. Soc. A 188. с. 10–18. Bibcode:1946RSPSA.188...10B. doi:10.1098/rspa.1946.0093. 


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.