Рівняння Бюргерса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівнянням Бюргерса називають нелінійне диференціальне рівняння в часткових похідних, що використовується в гідродинаміці. Це рівняння відоме в різних областях прикладної математики. Рівняння названо на честь Йоганнеса Мартінуса Бюргерса (1895—1981). Є окремим випадком рівнянь Нав'є — Стокса в одновимірному випадку. Нехай задана швидкість течії рідиниuі її кінематична в'язкість  \nu . Рівняння Бюргерса в загальному вигляді записується так:

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

де u (x,t) — невідома функція (густина газу чи рідини),  -\infty <x< +\infty  - просторова кордината,  t \ge 0 — час, а  \nu — в'язкість (параметр). Воно являє собою модельне рівняння при дослідженні хвильових процесів в газодинаміці, гідродинаміці, акустиці і т. д. На рівняння Бюргерса як на найпростіше р-ня, що об'єднує типову нелінійність і теплову дифузію (або в'язкість), вказав Й. Бюргерс (J. Burgers) в 1942 році, хоча воно фігурувало й раніше в роботах інших вчених, зокрема Г. Бейтмена (H. Bateman). Виявлена ​​Е. Хопфом (E. Hopf) і Дж. Коулом (J. Cole) в 1950 заміна  u = - 2\nu \frac{\partial \ln \phi (x,t)}{\partial x} дозволяє звести рівняння Бюргерса до рівняння теплопровідності для функції \phi.

\phi(x,t) = (4\pi\nu t)^{-1/2}\int^{+\infty}_{-\infty}d \eta e^{-F(x,\eta,t)/2\nu}
F(x,\eta,t)=\int^{\eta}_{0}u_0(\xi)d\xi + (x-\eta)^2/2t

З допомогою цієї формули можна детально прослідкувати як із гладких початкових умов утворюються і поширюються ударні хвилі у нелінійному середовищі, що описуються рівнянням \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} якщо за розвязок взяти границю "зчезаючої в'язкості" v(x,t) = \lim_{v\rightarrow +0} u(x,t), і в початковий момент v(x,0)=u(x,0),

Джерела[ред.ред. код]

  • Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М., Сов.энциклопедия, 1988.