Теорема Больцано-Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Больца́но-Коші — ділиться на дві частини, перша теорема про проходження неперервною функцією через нуль. Друга теорема узагальнює першу та стверджує, що якщо неперервна функція приймає два значення, то вона прийме й значення на відрізку між ними.

Перша теорема Больцано-Коші[ред.ред. код]

Нехай функція f(x) визначена та неперервна в замкненому проміжку [a, b] та на кінцях даного проміжку приймає значення різних знаків. Тоді між a та b неодмінно знайдеться точка c, в якій функція обертається в нуль:

f(c) = 0 (a<c<b)

Доведення[ред.ред. код]

Доведення даної теореми зробимо методом послідовного ділення відрізку (метод Больцано). Нехай, для визначеності, f(a) < 0 та f(b) > 0. Розділимо відрізок [a, b] навпіл точкою \frac{a+b}{2}. Якщо в даній точці функція дорівнює нулю, тоді теорема доведена. Якщо c=\frac{a+b}{2} \ne 0, тоді на кінцях одного з відрізків \left [ a, \frac{a+b}{2} \right ], \left [ \frac{a+b}{2}, b \right ] функція буде приймати значення різних знаків. Позначивши цей проміжок через  \left [ a_1, b_1 \right ] маємо:

f(a_1) < 0, f(b_1) > 0

Розділимо навпіл відрізок  \left [ a_1, b_1 \right ] та знову відкинимо випадок з рівністю функції нулеві (в даному випадку теорема доведена). Позначимо через  \left [ a_2, b_2 \right ] ту з половин відрізку, для якої

f(a_2) < 0, f(b_2) > 0

Продовжимо даний процес побудови відрізків. При цьому після деякої кінцевої кількості ітерацій ми або наткнемося на рівність функції нулеві, і доведення теореми закінчиться, або отримаємо нескінченну послідовність вкладених один в одного проміжків. Зупинимось на цьому останньому випадку. Тоді для n-го відрізку  \left [ a_n, b_n \right ], (n = 1, 2, 3 …) будемо мати

f(a_n) < 0, f(b_n) > 0 Посилання: (1)

Причому довжина його дорівнює

b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} Посилання: (2)

Побудована послідовність відрізків задовольняє лему про вкладені відрізки, тому що відповідно до (2) \lim(b_n - a_n) = 0. Тому існує точка с із проміжка [a, b], для якої \lim a_n = \lim b_n = c.

Покажемо, що саме ця точка задовольняє вимогам теореми. Перейшовши до границі в нерівностях (1) та використовуя при цьому неперервність функції (зокрема, в точці x = c), отримаєм, що одночасно

f(c)=\lim f(a_n) \le 0 та f(c)=\lim f(b_n) \ge 0

Так що дійсно, f(c) = 0. Теорема доведена.

Друга теорема Больцано-Коші[ред.ред. код]

Нехай функція f(x) визначена та неперервна на деякому проміжку X (замкнутому або ні, скінченному або нескінченному). Якщо в двох точках x=a та x=b (a < b) цього проміжку функція приймає нерівні значення

f(a) = A та f(b) = B,

то, яке б не було число С, що лежить між A та B, знайдеться така точка x = c між a та b, що f(c) = C

Доведення[ред.ред. код]

Будемо вважати, що A < B, тоді A < C < B.

Розглянемо в проміжку [a, b] допоміжну функцію \varphi(x) = f(x) - C. Ця функція неперервна в проміжку [a, b] та на кінцях його має різні знаки:

\varphi(a) = f(a) - C = A - C < 0, \varphi(b) = f(b) - C = B - C > 0

Тоді згідно з першою теоремою Больцано-Коші, між a та b знайдеться точка x = c, для якої \varphi(x) = 0, тобто

f(x) - C = 0 або f(c) = C

Що і треба було довести.

Використання теореми на практиці[ред.ред. код]

За допомогою даної теореми можна визначити наявність коренів у рівнянні. Наприклад для всіх очевидний корінь x = 4 у рівнянні 2^x = 4x, але складно помітити існування ще одного кореня данного рівняння. Функція

f(x) = 2^x - 4x

при x = 0, має значення f(0) = 1 > 0, а при x = 1/2 значення f(\frac{1}{2})=\sqrt{2} - 2 < 0, відповідно функція (так як вона неперервна), обертається на 0 в деякій точці між 0 та 1/2.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. Издание седьмое, стереотипное. — М.: Издательство «Наука», 1969.