Лема про вкладені відрізки

Лема про вкладені відрізки

Загальне формулювання

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта $x_n$ та монотонно спадна варіанта $y_n$, причому завжди

$x_n < y_n$. (Посилання 1)

Якщо їх різниця $y_n - x_n$ прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну границю: $c = \lim x_n = \lim y_n$

Допоміжна теорема для доведення

Якщо варіанти $x_n$ та $y_n$ мають кінцеві границі:

$\lim x_n = a$, $\lim y_n = b$,

то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому

$\lim(x_n \pm y_n) = a \pm b$

Доведення

З умови теореми випливає, що

$x_n = a + \alpha_n$, $y_n = b + \beta_n$, (посилання 2)

де $\alpha_n$, $\beta_n$ - нескінченно малі. Тоді

$x_n \pm y_n = (a \pm b) + (\alpha_n \pm \beta_n)$

Тут $\alpha_n \pm \beta_n$ є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта $x_n \pm y_n$ має границю, що дорівнює $a \pm b$, що і потрібно було довести.

Доведення

Дійсно, при всіх значеннях n маємо: $y_n \le y_1$, а значить, зважаючи на (1), і $x_n < y_1 (n = 1, 2, 3, ...)$. Зростаюча змінна $x_n$ виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю $c = \lim x_n$.

Аналогічно, для спадної змінної $y_n$ будемо мати $y_n > x_n \ge x_1$, так що і вона прямує до кінцевою границі $c^' = \lim y_n$.

Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь

$c^' - c = \lim (y_n - x_n)$

тобто, за умовами рівна 0, так що $c^' = c$, що і треба було довести.

Класичне формулювання

Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.

Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям $a \le x \le b$. Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на числовій вісі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).

Домовимося говорити, що відрізок $[a^',b^']$ міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо

$a \le a^' \le b^' \le b$

Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків $[a_1, b_1], [a_2, b_2], ..., [a_n, b_n], ...,$ так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:

$\lim (b_n - a_n) = 0$

Тоді кінці $a_n$ та $b_n$ відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі

$c = \lim a_n = \lim b_n$,

що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.

Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,

$a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n$

так що лівий кінець $a_n$ та правий кінець $b_n$ n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант $x_n$ та $y_n$.

Так як $a_n$ прямує до c зростаючи, а $b_n$ зменшуючись, то

$a_n \le c \le b_n (n = 1, 2, 3 ...)$

тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки $c^'$ з тими ж властивостями бути не може, бо інакши ми мали б:

$b_n - a_n \ge | c^' - c | > 0$

і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.

Джерела

Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969