Лема про вкладені відрізки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема про вкладені відрізки

Загальне формулювання[ред.ред. код]

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта x_n та монотонно спадна варіанта y_n, причому завжди

x_n < y_n. (Посилання 1)

Якщо їх різниця y_n - x_n прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну границю: c = \lim x_n = \lim y_n

Допоміжна теорема для доведення[ред.ред. код]

Якщо варіанти x_n та y_n мають кінцеві границі:

\lim x_n = a, \lim y_n = b,

то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому

\lim(x_n \pm y_n) = a \pm b

Доведення

З умови теореми випливає, що

x_n = a + \alpha_n, y_n = b + \beta_n, (посилання 2)

де \alpha_n, \beta_n - нескінченно малі. Тоді

x_n \pm y_n = (a \pm b) + (\alpha_n \pm \beta_n)

Тут \alpha_n \pm \beta_n є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта x_n \pm y_n має границю, що дорівнює a \pm b, що і потрібно було довести.

Доведення[ред.ред. код]

Дійсно, при всіх значеннях n маємо: y_n \le y_1, а значить, зважаючи на (1), і x_n < y_1 (n = 1, 2, 3, ...). Зростаюча змінна x_n виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю c = \lim x_n.

Аналогічно, для спадної змінної y_n будемо мати y_n > x_n \ge x_1, так що і вона прямує до кінцевою границі c^' = \lim y_n.

Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь

c^' - c = \lim (y_n - x_n)

тобто, за умовами рівна 0, так що c^' = c, що і треба було довести.

Класичне формулювання[ред.ред. код]

Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.

Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям a \le x \le b. Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на числовій вісі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).

Домовимося говорити, що відрізок [a^',b^'] міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо

a \le a^' \le b^' \le b

Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків [a_1, b_1], [a_2, b_2], ..., [a_n, b_n], ..., так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:

\lim (b_n - a_n) = 0

Тоді кінці a_n та b_n відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі

c = \lim a_n = \lim b_n,

що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.

Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,

a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n

так що лівий кінець a_n та правий кінець b_n n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант x_n та y_n.

Так як a_n прямує до c зростаючи, а b_n зменшуючись, то

a_n \le c \le b_n (n = 1, 2, 3 ...)

тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки c^' з тими ж властивостями бути не може, бо інакши ми мали б:

b_n - a_n \ge | c^' - c | > 0

і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.

Джерела[ред.ред. код]

Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969