Неперервна функція

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція $f(x)$ дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам $\Delta x$ аргумента $x$ відповідають малі зміни $\Delta f$ значення функції, що можна записати так: $\Delta f\to 0$ коли $\Delta x\to 0.$ Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Означення

Приклад неперервної функції

Приклад розривної функції в точці $x=2$. Функція не є неперервною зліва точки $x=2$
$\lim_{x\to 2 \atop x<2}f(x) = 2 \ne f(2)$ $f$ проте є неперервною справа:
$\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x) = 3 = f(2)$ $f$.

Функція $f(x)$ дійсної змінної, яка означена в області $D\subseteq \mathbb{R}$, неперервна в точці $x_0\in D$ якщо для довільного $\epsilon>0$ знайдеться таке $\delta>0$ (яке залежить від $\epsilon$), що з $x\in D, |x-x_0|<\delta$ випливає $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon.$ Функція $f(x)$ неперервна в області $S\subseteq\mathbb{R}$, якщо $f(x)$ неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай $A \subset \mathbf{R}, \quad f:A \to \mathbf{R}$, $x_0$ — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці $x_0$

Функція f називається неперервною в точці $x_0$ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.
2. існує границя $\lim_{x \to x_0}{f(x)}$
3. $\lim_{x \to x_0}{f(x)}=f(x_0)$.

Означення неперервності в точці $x_0$ за Коші

Функція f називається неперервною в точці $x_0$ якщо: $\forall (\epsilon>0)$ $\exist (\delta > 0) \forall x$, що $\left| x - x_0 \right| < \delta$ => $\left|f(x) - f(x_0)\right| <\epsilon$

Означення неперервності в точці $x_0$ за Гейне

Функція f називається неперервною в точці $x_0$ якщо: $\forall x_n$, якщо $\lim_{n \to \infty}{x_n} = x_0$, то $\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=f(x_0)$.

Точки розриву

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

Див. також

• Теорема Больцано-Коші

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.