Неперервна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція f(x) дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам \Delta x аргумента x відповідають малі зміни \Delta f значення функції, що можна записати так: \Delta f\to 0 коли \Delta x\to 0. Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Означення[ред.ред. код]

Приклад неперервної функції
Приклад розривної функції в точці x=2. Функція не є неперервною зліва точки x=2
\lim_{x\to 2 \atop x<2}f(x) = 2 \ne f(2) f проте є неперервною справа:
\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x) = 3 = f(2) f.

Функція f(x) дійсної змінної, яка означена в області D\subseteq \mathbb{R}, неперервна в точці x_0\in D якщо для довільного \epsilon>0 знайдеться таке \delta>0 (яке залежить від \epsilon), що з x\in D, |x-x_0|<\delta випливає |f(x)-f(x_0)|<\epsilon. Функція f(x) неперервна в області S\subseteq\mathbb{R}, якщо f(x) неперервна в кожній точці цієї області.


Нехай A \subset \mathbf{R}, \quad f:A \to \mathbf{R}, x_0гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x_0[ред.ред. код]

Функція f називається неперервною в точці x_0 якщо:

  1. функція f(x) визначена в точці x0.
  2. існує границя  \lim_{x \to x_0}{f(x)}
  3.  \lim_{x \to x_0}{f(x)}=f(x_0) .

Означення неперервності в точці x_0 за Коші[ред.ред. код]

Функція f називається неперервною в точці x_0 якщо: \forall (\epsilon>0) \exist (\delta > 0) \forall x, що \left| x - x_0 \right| < \delta =>  \left|f(x) - f(x_0)\right| <\epsilon

Означення неперервності в точці x_0 за Гейне[ред.ред. код]

Функція f називається неперервною в точці x_0 якщо: \forall x_n, якщо \lim_{n \to \infty}{x_n} = x_0, то \lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=f(x_0) .

Точки розриву[ред.ред. код]

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.


Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.