Неперервна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Неперервна функція — одне з основних понятть математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція $f (x)$ дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам $Δ x$ аргумента $x$ відповідають малі зміни $Δ f$ значення функції, що можна записати так: $\Delta f\to 0$ коли $\Delta x\to 0.$ Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений "не відриваючи олівець від паперу". Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

[ред.] Означення

Приклад неперервної функції

Приклад розривної функції в точці

x = 2

. Функція не є неперервною зліва точки

x = 2

$\lim_{x\to 2 \atop x<2}f(x) = 2 \ne f(2)$

f

проте є неперервною справа:
$\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x) = 3 = f(2)$

f

.

Функція $f (x)$ дійсної змінної, яка означена в області $D\subseteq \mathbb{R}$ , неперервна в точці $x_0\in D$ якщо для довільного $ε > 0$ знайдеться таке $δ > 0$ (яке залежить від $ε$ ), що з $x\in D, |x-x_0|<\delta$ випливає $| f (x) - f (x 0) | < ε.$ Функція $f (x)$ неперерена в області $S\subseteq\mathbb{R}$ , якщо $f (x)$ неперервна в кожній точці цієї області.