Теорема Вілсона

В теорії чисел теорема Вілсона стверджує, що натуральне число n>1 є простим в тому і тільки тому випадку коли справджується рівність:

$(n-1)!\ \equiv\ -1\ \mod n$

Історія

Теорема вперше була сформульована індійським математиком Бхаскарою, а згодом арабським вченим Ібн аль Хайтамом. В Європі її сформулював без доведення англійський математик Джон Вілсон, на честь якого вона названа. Перше відоме доведення дав Лагранж у 1773 році.

Доведення

Нехай p деяке просте число. Елементарними обчисленнями можна переконатися, що теорема справджується для p=2 і p=3. Тож вважатимемо, що p > 3. Якщо для деякого цілого справджується рівність:

$x^2 \equiv 1\mod p,$

то справджується також $x^2 - 1 \equiv 0 \mod p,$ або

$(x - 1)\cdot(x+1) \equiv 0 \mod p,$

Тож у випадку, якщо $1<x<p-1\;$, маємо $x=1\;$ або $x=p-1\;$.

Якщо ж $2<x<p-2\;$, тоді існує деяке $2<y<p-2\;$, відмінне від $x$, таке, що $xy\equiv 1 \mod p$. Таким чином справджується:

$2\cdot ... \cdot (p-2) \equiv 1 \mod p$.

Дана рівність еквівалентна наступній:

$1\cdot ... \cdot(p-1) \equiv p-1 \mod p$,

звідки випливає, що $(p-1)! + 1\;$ ділиться на $p$. Тоді $a\ |\ (p-1)!\,$ і як наслідок

$a\cdot b\ |\ (p-1)!\cdot b$

зважаючи, що $p=a\cdot b$ маємо

$(p-1)!\cdot b \equiv\; 0\mod p$,

звідки

$(p-1)!\cdot b\not\equiv (-1)\cdot b\mod p$.

Тому маємо

$(p-1)!\ \not\equiv\ -1 \mod p\,$

і число $(p-1)! + 1\;$ не ділиться на $p$.

Застосування теореми

Теорема Вілсона може бути використана для перевірки чисел на простоту. Наприклад відповідний алгоритм на мові С++:

int factorial(int x) {
    if( x == 0 ) return 1;
    return x * factorial (x - 1);
}
bool simpleInt (int p)
{
  return ((factorial (p-1)+1)%p==0);
}

Проте через складність обчислення факторіалу даний метод є дуже неефективним.

Дивись також

• Мала теорема Ферма
• Китайська теорема про залишки
• Модульна арифметика
• Факторіал

Література

• Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
• Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959