Теорема Паулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Паулі про зв'язок спіну зі статистикою - теорема квантової теорії поля, яка пов'язує спін вільних одночастинкових станів зі статистикою (Бозе-Ейнштейна чи Фермі-Дірака), яка їх описує. Теорема була сформульована та доведена Вольфгангом Паулі у 1940-му році у статті "Зв'язок між спіном і статистикою"[1].

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Теорема Паулі зазвичай формулюється наступним чином:

Нехай простір станів фізичної системи має додатно визначену метрику, і кожному стану відповідає додатня енергія. Тоді у локальній лоренц-інваріантній теорії поля, в якій виконуються ці дві умови, поля, які описують частинки із цілим спіном, локально комутують між собою та із спінорними полями, а поля, що описують частинки із напівцілим спіном, локально антикомутують.

Доведення теореми [2][ред.ред. код]

1. Отже, нехай \ x, y - довільні точки простору Мінковського, розділені простороподібним інтервалом \ (x - y)^{2} = (t_{x} - t_{y})^{2} - (\mathbf x - \mathbf y )^{2} < 0. За час \ t_{x} - t_{y} збурення, яке вийшло з точки \ x та розповсюджується із швидкістю в \ c, пройде відстань \ c|t_{x} - t_{y}| меншу, ніж \ |\mathbf x - \mathbf y|. Тому точка \ y не зазнає дії сигналу, який вийшов із точки \ x, а отже, вимірювання у точках \ x, y не вплинуть один на одного. Звідси випливає, що оператори, які відповідають фізичним величинам \ L(x), L(y) при \ (x - y)^{2} < 0, повинні комутувати один із одними:

\ [\hat {L} (x), \hat {L} (y)] = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 \quad (1).

Як правило, усі оператори квантової теорії поля, що відповідають основним фізичним величинам, являються деякими функціями по полям, точніше - поліномами виду

\ \hat {L}^{\sigma}_{AB} = \sum_{A_{i}, B_{j}}G^{\sigma}_{AA_{1}...A_{n}BB_{1}...B_{m}}\hat {\Psi}_{A_{1}}(x)...\hat {\Psi}_{A_{n}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{1}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{m}}(x).

Тут \ G^{\sigma}_{AA_{1}...A_{n}BB_{1}...B_{m}} побудований із лоренц-коваріантних об'єктів - тензору Леві-Чивіта, метричного тензора, матриць Паулі, гамма-матриць, метрики спінорів і т.д., \ A_{i}, B_{j} - набори спінорних індексів.

Це означає, що для виконання \ (1) необхідно накласти одну з умов

\ [\hat {\psi}_{A} (x), \hat {\psi}_{B}^{\dagger} (y)]_{\pm} = G^{\pm}_{AB}(x - y)D^{(\pm )}_{0}(x - y),

де \ D_{0}(x - y) = 0, \quad (x - y)^{2} < 0. Аналогічні рівності також повинні бути справедливі для всіх можливих (анти)комутаторів полів (два поля ермітово спряжені, два неспряжені). До аналогічного результату можна прийти, вимагаючи від S-оператору лоренц-інваріантності.

Масивним полем спіну \ s \ \hat {\Psi}_{A}(x) є об'єкт

\ \hat {\Psi}_{A}(x) = \sum_{\sigma} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2p_{0}}}\left( k_{1}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p)\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p )e^{-ipx} + k_{2}v_{A}^{\sigma}(\mathbf p)\hat {b}_{\sigma}^{\dagger}(\mathbf p ) e^{ipx}\right),

де мітка \ \sigma пробігає \ 2s+1 значень, а коефіцієнтні функції пов'язані співвідношеннями

\ s = k: u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p),

якщо поле є полем цілого спіну, чи напівцілого спіну із відсутністю інваріантності відносно просторових інверсій, і

\  u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) ,

якщо теорія вільного поля напівціого є інваріантною відносно просторових інверсій.

Безмасовим полем спіральності \ \lambda є вираз

\ \hat {\Psi}^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(-\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf p)\left( k_{1}e^{-ipx}\hat {a}_{-\lambda}(\mathbf p) + k_{2}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\right), \quad s = \lambda.

Безмасовим полем спіральності \ -\lambda є вираз

\ \hat {\Psi}^{(-\lambda )}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(-\lambda )}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(\mathbf p)\left( k_{3}e^{-ipx}\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p) + k_{4}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p)\right), \quad s = \lambda.

2. Нехай існує вакуумний стан, оператори народження та знищення утворюють фоківський базис та задовольняють одному із типів співвідношень - комутаторним чи антикомутаторним рівностям

\ [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = 0,

\ [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {a}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {b}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = \delta_{\sigma \sigma{'}}\delta(\mathbf p -\mathbf k ),

причому для одного поля \ \hat {a}, \hat {b} мають статистику одного типу (комутаційну чи антикомутаційну).

Із цих співвідношень одразу слідує, що

\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}_{B}(y)]_{\pm} = [\hat {\Psi}_{A}^{\dagger}(x), \hat {\Psi}_{B}^{\dagger}(y)]_{\pm} = 0.

3. Для випадку теорій цілого спіну та теорій напівцілого спіну, неінваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор полів має вигляд

\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = G_{AB}\left(i \frac{\partial }{\partial x}\right)(|k_{1}|^{2}D_{m}(x - y) \pm (-1)^{2s}D_{m}(y - x)), \quad D_{m}(x - y) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2p_{0}}e^{-ip(x - y)} \qquad (2).

Тут \ G_{AB}\left(i \frac{\partial }{\partial x}\right) - поліном по похідним відповідно лише парних та непарних степенів для цілого та напівцілого спіну.

Для просторовоподібних інтервалів \ D_{m}(x - y) = D_{m}(y - x), тому \ (2) набуває вигляду

\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = G_{AB}\left(i \frac{\partial }{\partial x}\right)D_{m}(x - y)(|k_{1}|^{2} \pm (-1)^{2s}|k_{2}|^{2}).

У результаті при \ |k|_{1} = |k_{2}| маємо

\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = |k_{1}|G_{AB}\left(i \frac{\partial }{\partial x}\right)D_{m}(x - y)(1 \pm (-1)^{2s}) \qquad (3).

Звідси очевидно, що у випадку цілого спіну для рівності нулю виразу \ (3) треба вибирати комутатор, а у випадку напівцілого - антикомутатор.

3. Для випадку теорій напівцілого спіну, інваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор має вигляд

\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\bar {\Psi}}_{B}(y)]_{\pm} = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)R_{AB}\left(i\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( |k_{1}|^{2}D_{m}(x - y) \mp |k_{2}|^{2}D_{m}(y - x)\right).

Тут поліном \ R_{AB}\left(i\frac{\partial}{\partial x}\right) має доданки, що складаються із добутків парних кількостей похідних та гамма-матриць, і доданки, що складаються із добутків непарних кількостей похідних та гамма-матриць. Повторюючи міркування п. 3, обираємо \ |k_{1}| = |k_{2}| та знак, що відповідає антикомутатору.

Теорема доведена повністю.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. W. Pauli "The Connection Between Spin and Statistics", Phys. Rev. 58, 716–722 (1940), pdf
  2. Теорема Паулі