Теорема Фалеса про три точки на колі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Теорема Фалеса: Якщо AC діаметр, то кут B прямий.

В геометрії, Теорема Фалеса (названа на честь Фалеса з Мілету) стверджує, що якщо A, B і C є точками на колі, де відрізок AC є діаметром кола, тоді кут ABC є прямим.

Теорема Фалеса є окремим випадком теореми про вписані кути. Вона згадується і доводиться як 33-я пропозиція, третьої книги Евкліда «Начала».

Доведення[ред.ред. код]

Використаємо такі факти: сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам і що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

Thales-proof.png

Нехай O є центром кола. Оскільки OA = OB = OC, OAB і OBC є рівнобедреними трикутниками, із рівності кутів при основі рівнобедреного трикутника, OBC = OCB і BAO = ABO. Нехай γ = BAO і δ = OBC.

Оскільки сума кутів прямокутного трикутника рівна двом прямим кутам, отримаємо

2γ + γ ′ = 180°

і

2δ + δ ′ = 180°

Також відомо що

γ ′ + δ ′ = 180°

Додавши перші два рівняння та віднявши третє, отримаємо

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

що, після скорочення γ ′ and δ ′, дає

γ + δ = 90°

Q.E.D.

Обернена теорема[ред.ред. код]

Обернена теорема також вірна. Вона стверджує, що якщо для даного прямокутного трикутника побудувати коло, так, що його гіпотенуза буде діаметром кола, то коло буде описаним навколо трикутника.

Пряма та обернена теореми можуть бути сформульовані так:

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на одній із його сторін тоді і тільки тоді, коли трикутник є прямокутним.

Узагальнення[ред.ред. код]

Теорема Фалеса є спеціальним випадком наступної теореми: якщо дані три точки A, B і C на колі із центром O, кут AOC вдвічі більшим від ABC.

Історія[ред.ред. код]

Фалес не був першовідкривачем теореми названої в його честь, оскільки давні єгиптяни та вавілоняни знали її на емпіричному рівні. Але Фалесу належить перше доведення цієї теореми.

Інші теореми відомі під даною назвою[ред.ред. код]

В країнах колишнього Радянського Союзу назва «теорема Фалеса» стосується іншої теореми — Теорема Фалеса про пропорційні відрізки