Ознака Єрмакова

Ознака Єрмакова — критерій збіжності числових рядів з додатніми членами, встановлений українським математиком Василем Єрмаковим.

Формулювання теореми

Нехай функція $f(x)$ неперервна, додатня і монотонно спадна для $x>1$. Тоді, якщо для достатньо великих $x$ (для $x\geq x_{0}$) виконується нерівність:

$${\frac {f(e^{x})*e^{x}}{f(x)}}\leq q<1,$$

то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n),$ є збіжним, якщо ж (для $x\geq x_{0}$):

$${\frac {f(e^{x})*e^{x}}{f(x)}}\geq 1,$$

то ряд є розбіжним.

Доведення теореми

1. Нехай виконується нерівність:

$${\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .$$

Домножимо обидві частини нерівності на $f(x)$ і проінтегруємо використовуючи підстановку

$$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,$$

звідси

$$(1-\lambda )\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt,$$

так як $e^{x}>x$, зменшуване в останніх дужках є додатнім. Тому розділивши нерівність на

$$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt.$$

Додамо до обох частин інтеграл ${\textstyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}\,f(t)dt,}$ отримаємо

$\int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=L.$

Враховуючи, що $e^{x}>x$, при $x\geq x_{0}$

$$\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.$$

Оскільки зі зростанням $x$ інтеграл зростає, то існує для нього кінцева границя при $x\rightarrow \infty$:

$$\int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.$$

Так як цей інтеграл є збіжним, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ також збігається.

1. Нехай тепер має місце нерівність:
   $${\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.$$
   Домножимо обидві частини цієї нерівності $f(x)$ проінтегруємо, використовуємо в лівій частині підстановку: $t=e^{u}$, отримаємо:
   $$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt.$$
   Додамо до обох частин інтеграл $\int \limits _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt:$
   $$\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=\gamma .$$
   Оскільки $x_{0}<e^{x_{0}}$, то $\gamma >0$. Визначимо послідовність $x_{i}$ наступним чином:
   $$x_{i}=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots$$
   Використовуючи цю послідовність останню нерівність можна записати у вигляді:
   $$\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .$$
   Сумуємо інтеграл за принципом $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n:$
   $$\int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,$$
   тобто цей інтеграл необмежений при $n\to \infty$. Тому:

$$\int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt=+\infty .$$

Оскільки цей інтеграл розбіжний, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ є розбіжним.

Література

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
2. .D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.