Теорема Ройшле

Теорема Ройшле:
чевіани $AP_{a}$, $AP_{b}$ і $AP_{c}$ перетинаються в точці $D$
$AP'_{a}$, $AP'_{b}$ і $AP'_{c}$ перетинаються в $D'$

Теорема Ройшле описує властивості чевіан трикутника, які перетинаються в одній точці. Теорему названо ім'ям німецького математика Карла Густава Ройшле (1812—1875). Відома також як теорема Теркема за ім'ям французького математика Олрі Теркема (1782—1862), який опублікував її 1842 року.

Твердження теореми

У трикутнику $ABC$ з трьома чевіанами, що перетинаються в спільній точці, відмінній від вершин $A$, $B$, $C$, позначимо $P_{a}$, $P_{b}$ і $P_{c}$ перетини продовжених сторін трикутника і чевіан. Коло, що проходить через три точки $P_{a}$, $P_{b}$ і $P_{c}$ перетинає продовження сторін трикутника в точках Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle P'_a} , $P'_{b}$ і $P'_{c}$. Теорема Ройшле стверджує, що ці три нові чевіани $AP'_{a}$, $BP'_{b}$ і $CP'_{c}$ також перетинаються в одній точці.

Окремий випадок. Приклад теореми Ройшле

• Для кола дев'яти точок, яке має ще й назву «коло Теркема», Теркем довів теорему Теркема. Вона стверджує, що якщо коло дев'яти точок перетинає сторони трикутника або їх продовження в 3 парах точок (3 основах відповідно висот і медіан), які є основами 3 пар чевіан, то, якщо 3 чевіани для 3 з цих основ перетинаються в точці 1 (наприклад 3 медіани перетинаються в точці 1), то 3 чевіани для 3 інших основ також перетинаються в точці 1 (тобто 3 висоти повинні перетнутися в точці 1).

Література

• Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. — Stuttgart, 1867 (reprint Wiesbaden 1973). — Т. I. — С. 125. — ISBN 3-500-26010-1. (нім.)
• M. D. Fox, J. R. Goggins. Cevian Axes and Related Curves // The Mathematical Gazette. — 2007. — Т. 91, № 520 (11 травня). — С. 3—4. Архівовано з джерела 28 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.

Посилання

• Terquem's theorem [Архівовано 26 жовтня 2021 у Wayback Machine.] на cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. Cyclocevian Conjugate(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.