Користувач:Kanzat/ОМА

Збіжність послідовності $\left\{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\},n\geq 1$. Число e.

Нехай $\forall n\geq 1:\ a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},b_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$.

Теорема.

Виконуються такі твердження:

• $\forall n\geq 1:\ a_{n}<b_{n}$;
• послідовність $a_{n}$ строго зростає;
• послідовність $b_{n}$ строго спадає;
• $a_{n}$ збіжна.

Доведемо останнє твердження.

Із перших трьох тверджень слідує:

$\forall n\geq 1:\ a_{1}<a_{n}<b_{n}<b_{1}$,

отже

$\forall n\geq 1:\ a_{n}\in (a_{1},b_{1})$,

тобто $a_{n}$ - обмежена, також вона монотонна, отже, за теоремою Веєрштраса про збіжність монотонної послідовності, $a_{n}$ збігається.

Границя послідовності $\forall n\geq 1:\ a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ позначається символом е. $e\approx 2.71$

TODO: написати доведення перших 3 пунктів!!!

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа

Теорема Ферма.

Нехай $f:\ (a,b)\to R,\ x_{0}\in (a,b),\ f(x_{0})=\max _{x\in [a;b]}f(x)$ abo $f(x_{0})=\min _{x\in [a;b]}f(x)$ i $\exists f'(x_{0})$.

Тоді обов'язково $f'(x0)=0$.

Доведення

Доведення для випадку, коли $f(x_{0})=\max f(x)$.

При $x\in (a,b),\ x<x_{0}:\ f(x)\leq f(x_{0})$, тому $f(x)-f(x_{0})\leq 0,\ x-x_{0}<0\ \Rightarrow$ за означенням похідної і теоремою про зв'язок звичайної і односторонньої границі:

$f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}-0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq 0$

При $x\in (a,b),\ x>x_{0}:\ f(x)\geq f(x_{0})$, тому $f(x)-f(x_{0})\geq 0,\ x-x_{0}>0\ \Rightarrow$ за означенням похідної і теоремою про зв'язок звичайної і односторонньої границі:

$f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}+0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq 0$

Тому: ${\begin{cases}f'(x_{0})\geq 0\\f'(x_{0})\leq 0\end{cases}}\Rightarrow f'(x_{0})=0$

Теорема Ролля.

Нехай $f:\ (a,b)\to R$ і задовольняє:

1. $f\in C([a,b])$

2. $\forall x\in (a,b)\ \ \exists f'(x)$

3. f(a) = f(b)

Тоді $\exists c\in (a,b):\ f'(c)=0$.

Доведення

Можливі 2 випадки:

• Якщо f - стала на [a,b], тобто $\forall x\in [a,b]:\ f(x)=f(a)$, то $\forall x\in (a,b):\ f'(x)=0\Rightarrow$ за c можна взяти будь-яку точку з (a;b).

• Якщо f - не стала на [a,b]. За умовою 1, $f\in C([a,b])\Rightarrow$ за другою теоремою Веєрштраса:

- $\exists x_{*}\in [a,b]:\ f(x_{*})=\min _{x\in [a;b]}f(x)$

- $\exists x^{*}\in [a,b]:\ f(x^{*})=\max _{x\in [a;b]}f(x)$

Одне із значень $f(x^{*}),f(x_{*})$ не дорівнює f(a), бо f не стала.

Нехай $f(x^{*})\neq f(a)$, тоді $x^{*}\in (a,b)$ за умовою 3.

За умовою 2 $\exists f'(x^{*})$. Тоді за теоремою Ферма $f'(x^{*})=0$, отже $c=x^{*}$.

Теорема Лагранжа про скінченний приріст.

$f:\ (a,b)\to R$ і задовольняє:

• $f\in C([a,b])$

• $\forall x\in [a,b)\ \exists f'(x)$

Тоді $\exists c\in (a,b):\ f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a)$.

Доведення

Розглянемо $g(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$

Порахуємо $g(a)=f(a);\ g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)$

Тобто g(b) = g(a) – значення на кінцях функції співпадають.

Також $\forall x\in (a;b)\ \exists g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

Отже, виконуються умови теореми Ролля для g. За теоремою Ролля, $\exists c\in (a;b)$, таке що g'(c) = 0, тобто внаслідок (1):

$f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\Leftrightarrow f'(c)\cdot (b-a)=f(b)-f(a)$

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца. Застосування визначеного інтегралу до обчислення довжин, площ, об’ємів.

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Нехай функція $y=f(x)$ визначена на відрізку [a;b]. Розіб'ємо цей відрізок на $n$ довільних частин точками: $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$.

На кожному частинному відрізку $[x_{i-1};x_{i}]$, $i=1,2,...,n$, візьмемо довільну точку $\xi _{i}\in [x_{i-1};x_{i}]$ і побудуємо суму $\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ (1)

Ця сума називається інтегральною сумою функції $f(x)$.

Позначимо через $\lambda$ довжину найбільшого частинного відрізка розбиття і назвемо його діаметром цього розбиття:

$\lambda =\max \limits _{1\leqslant i\leqslant n}\Delta x_{i}$

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (1) при $\lambda \rightarrow 0$, яка не залежить ні від розбиття, ні від вибору точок $\xi _{i}$, то ця границя називається інтегралом Рімана (або визначеним інтегралом) функції $f(x)$ на відрізку $[a;b]$ і позначається символом $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$. Отже, згідно з означенням,

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits _{\lambda \rightarrow 0}\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

Позначення: $f\in R([a;b])$ означає, що $f$ інтегрована за Ріманом по відрізку [a;b].

Теорема Ньютона-Лейбніца

Нехай $F(x)$ є якою-небудь первісною від неперервної функції $f(x),x\in [a;b]$, тоді:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

Доведення

1. Зафіксуємо розбиття [a,b] λ = {x₀, x₁, ..., x_n}. За умовою 2 для всіх 0 ≥ k ≥ n-1 до F(x) на відрізку [x_k; x_k+1] застосувати теорему Лагранжа: $\exists \xi _{k}\in (x_{k},x_{k+1}):,\ F(x_{k+1})-F(x_{k})=F'(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})=f(\xi _{k})\triangle x_{k}$. Тепер інтегральна сума: $S(f,\lambda ,{\xi _{k}})=\sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})\triangle x_{k}=\sum _{k=0}^{n-1}(F(x_{k+1})-F(x_{k}))=F(x_{1})-F(x_{0})+F(x_{2})-F(x_{1})+\dots +F(x_{n})-F(x_{n-1})=-F(x_{0})+F(x_{n})=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

2. Внаслідок умови 1 зафіксуємо послідовність розбиттів $\lambda _{n}:\,n\geq 1$ таку, що |λ| → 0, n → ∞. Для всіх n≥1 виберемо набір точок {ξ_k(n)} способом, вказаним в п.1. За теоремою про послідовність інтегральних сум: $\lim _{n\to \infty }S(f,\lambda ,{\xi _{k}(n)})=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$, але внаслідок п.1 $\forall n\geq 1,\ S(f,\lambda ,{\xi _{k}(n)})=F(b)-F(a)$, тому $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Застосування визначеного інтегралу до обчислення довжин, площ, об’ємів.

1. Площа криволінійної трапеції. Якщо $f:[a;b]\rightarrow R$ - невід'ємна і неперервна на [a;b] функція, то площа криволінійної трапеції $M=\{(x,y)|a\leqslant x\leqslant b,0\leqslant y\leqslant f(x)\}$ обчислюється за формулою $S(M)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$.

2. Довжина дуги кривої. Якщо $f\in C([a;b])$, то довжина кривої $\Gamma =\{(x,f(x))|a\leqslant x\leqslant b)\}$ обчислюється за формулою

$l(\Gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx$

5. Об'єм тіла обертання. Нехай $f:[a;b]\rightarrow R$ - невід'ємна і неперервна на [a;b] функція. Тоді об'єм тіла Т, утвореного обертанням навколо осі $Ox$ криволінійної трапеції $\{(x,y)|a\leqslant x\leqslant b,0\leqslant y\leqslant f(x))\}$, обчислюється за формулою

$V(T)=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)dx$

6. Площа поверхні обертання. Площа поверхні Р, утвореної обертанням навколо осі $Ox$ кривої $\{(x,f(x))|a\leqslant x\leqslant b)\}$обчислюється за формулою

$S(P)=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx$

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд. Ознаки порівняння збіжності додатних числових рядів. Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності додатних числових рядів.

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд (α = 1).

Нехай $\{a_{n}:n\geq 1\}$ - фіксована числова послідовність.

Числовим рядом називається формальна сума $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}+\dots \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

При цьому число $a_{n}$ називається n-тим членом ряду (1).

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}$ називається n-тою частковою сумою ряду (1).

Якщо існує скінченна $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S$, то ряд (1) називається збіжним до числа S, а S називається сумою ряду.

Якщо $\lim _{n\to \infty }S_{n}$ не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Необхідна умова збіжності числового ряду.

Перша необхідна умова:

якщо $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ збігається, то $a_{n}\to 0,n\to \infty$.

Доведення. Нехай ряд збігається до S, тобто існує $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S$.

$\forall n\geq 2:\ a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\to S-S=0,n\to \infty$.

Зауваження. З першої необхідної умови випливає, що якщо $a_{n}\not \to 0$, то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ розбігається. Якщо $a_{n}\to 0$, то треба досліджувати далі.

Друга необхідна умова:

Якщо $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ збігається, то $S_{2n}-S_{n}\to 0,n\to \infty$.

Доведення. Нехай ряд збігається до S, тобто існує $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S$, тоді

$S_{2n}-Sn\to S-S\to 0,n\to \infty$

Гармонійний ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$.

Доведемо, що він розбігається.

Перевіримо другу необхідну умову:

$S_{2n}-S_{n}=(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\dots +{\frac {1}{2n}})-(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}})={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\dots +{\frac {1}{2n}}\geq n\cdot {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}$.

Тобто $\forall n\geq 1:\ S_{2n}-S_{n}\geq {\frac {1}{2}}\Rightarrow$ за теоремою про нерівності для границь $\lim _{n\to \infty }(S_{2n}-S_{n})\neq 0$, друга необхідна умова не виконується, отже, гармонійний ряд розбіжний.

Ознаки порівняння збіжності знакододатних числових рядів.

Нехай для всіх n>=1: 0<=an<=bn. Тоді:

• 1. Якщо Сума(n=1..нескінченність)(bn) збігається, то і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж збігається.
• 2. Якщо Сума(n=1..нескінченність)(аn) розбігається, то Сума(n=1..нескінченність)(bn) теж розбігається.

Доведення

Доведення випливає з критерія збіжності, бо для всіх n>=1: (S_n)^a = a1+a2+...+an... i (S_n)^b = b1+b2+...+bn... Для цих сум виконується: (S_n)^a <= (S_n)^b (обмеженість). ДОВЕДЕНО.

ДРУГА ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ. Нехай для всіх n>=1: an>0 і bn>0. Існує lim(n->нескінченність)(an/bn)=L є (0;нескінченність).

Тоді поведінка рядів Сума(n=1..нескінченність)(аn) і Сума(n=1..нескінченність)(bn) однакова.

Для доведення використовуємо ЛЕМУ: Нехай для всіх n>=1: cn>0, ряд Сума(n=1..нескінченність)(сn) - збіжний, d_n (n>=1) - послідовність, така що існує alpha>0: 0<=d_n<=alpha. Тоді ряд Сума(n=1..нескінченність)(dn*cn) - збігається.

ДОВЕДЕННЯ ЛЕМИ. Для всіх n>=1: Сума(k=1..n)(dk*ck) <= Сума(k=1..n)(L*ck) = L*Сума(k=1..n)(ck) (1).

Оскільки Сума(k=1..n)(ck) збігається, то за критерієм збіжності: {Сума(k=1..n)(ck): n>=1} - обмежений. Тоді з (1)

{Сума(k=1..n)(dk*ck): n>=1} - обмежений. За критерієм збіжності, Сума(n=1..нескінченність)(dn*cn) збігається. ДОВЕДЕНО.

ДОВЕДЕННЯ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ.

1. Нехай Сума(n=1..нескінченність)(bn) збігається. Доведемо, що і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж збігається. Оскількі існує lim(n->нескінченність)(an/bn)=L, то послідовність an/bn обмежена. Тобто існує с>0, таке що для будь-якого n>=1: 0<=an/bn<=c.

ak/bk, k>=1 - задовольняє умову леми: ряд Сума(n=1..нескінченність)(bn) - збіжний. Отже: Сума(n=1..нескінченність)(an)=Сума(n=1..нескінченність)(an/bn)*bn - збіжний (за лемою).

2. Нехай Сума(n=1..нескінченність)(bn) розбігається. Доведемо, що і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж розбігається.

Від супротивного. Припустимо, що Сума(n=1..нескінченність)(аn) збіжний. lim(n->нескінченність)(an/bn)=L - з умови.

L є (0;нескінченність) => існує lim(n->нескінченність)(bn/an)=1/L => {bn/an: n>=1} - обмежений, а отже, задовольняє умову леми. Тому ряд Сума(n=1..нескінченність)(bn)=Сума(n=1..нескінченність)(bn/аn)*an - теж збіжний за лемою. Протиріччя. ДОВЕДЕНО.

Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності знакододатніх числових рядів.

Теорема. Ознака Коші

Якщо для ряду з додатними членами $u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots$ існує границя $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=l$, то:

1. ряд збіжний при $l<1$
2. ряд розбіжний при $l>1$

Доведення

• 1).p<1, зафіксуємо r, таке що p<r<1. Оскільки lim_(n->oo) sqrt^n(an) = p, то існує номер n0 для всіх n>=n0 : sqrt^n(an)<r, тобто an < r^n , n>=n0. Ряд sum_(n=n0...oo)r^n - збіжний як геометричний ряд |r|<1. звідси за 1 ознакою порівняння: sum_(n=n0...oo)an - збіжний, а отже і ряд sum_(n=1...oo)an - збіжний, оскільки хвіст ряду збігається.

• 2).p>1. lam_(n->oo) sqrt^n(an) = p > 1. Отже існує n0 для всіх n>=n0: sqrt^n(an)>=1 , тобто an>=1,n>=n0, тоді an !->0, n->oo, а отже ряд sum_(n=1...oo)an - розбіжний.
• 3).p=1. Наведемо приклад ряду що розбігається: sum_(n=1...oo) 1 - розбіжний, бо 1!->0, n->oo:

lim_(n->oo)sqrt^n(an) = lim_(n->oo)sqrt^n(1) = 1 = p.

Наведемо приклад збіжного ряду: sum_(n=1...oo) (1/n^2) - збіжний, як узагальнений гармонійний ряд з alpha > 1, але lim_(n->oo)sqrt^n(an) = lim_(n->oo)sqrt^n((1/n^2)) = lim_(n->oo)1/(sqrt^n(n))^2 = 1 = p.

Теорема. Ознака Д'Аламбера

Якщо для ряду з додатними членами $u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots$ існує границя $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=l$, то:

1. ряд збіжний при $l<1$
2. ряд розбіжний при $l>1$

Зауваження 1. Якщо l=1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. У цьому випадку ряд треба дослідити за допомогою інших ознак.

Розклад функцій в ряд Тейлора, основні розклади.

Ряд Тейлора

$f:\ (x_{0}-r;\ x_{0}+r)\to R$, f - нескінченно диференційовна на $(x_{0}-r;\ x_{0}+r)$.

Степеневий ряд

$f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$ (1)

називається рядом Тейлора для функції f в околі точки $x_{0}$.

Теорема 1. Нехай $\exists c>0,\ \forall n\geq 0,\ \forall x\in (x_{0}-R;\ x_{0}+R)$ справджується $|f^{(n)}(x)|\leq c^{n}$.

Тоді $\forall x\in (x_{0}-R;\ x_{0}+R):\ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

Теорема 2. Степеневий ряд з R > 0 завжди є рядом Тейлора для своєї суми.

Наслідок. Для того, щоб розкласти функцію в ряд Тейлора, досить отримати розклад в будь-який степеневий ряд.

Таблиця розкладів у ряд Тейлора для деяких функцій в околі 0.

1. $e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\ x\in R$

2. $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\ x\in R$

3. $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\ x\in R$

4. ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},\ x\in (-1;1)$

5. Біноміальний розклад $\forall \alpha \in R,\alpha$ - фіксоване:

$(1+x)^{\alpha }=1+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdot \dots \cdot (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n},\ x\in (-1;1)$

6. $\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\dots +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}},\ x\in (-1;1]$

Алгоритм розкладу в ряд Тейлора

Для розкладу функціїї $f(x)$ в ряд Тейлора (Маклорена) (1) потрібно:

• знайти похідні $f'(x),f''(x),...,f^{(n)}(x),$
• обчислити значення похідних в точці $x_{0}=0$
• записати ряд (1) для заданої функції і знайти його інтервал збіжності
• знайти інтервал (-R; R), в якому залишковий член ряду Маклорена R_n(x)->0 при n->$\infty$. Якщо такого інтервалу не існує, то в ньому функція $f(x)$ і сума ряду Маклорена збігаються.

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.Диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.

l > 0 – фіксоване.

Послідовність функцій $1,\ \cos({\frac {\pi x}{l}}),\ \sin({\frac {\pi x}{l}}),\ \cos({\frac {2\pi x}{l}}),\ \sin({\frac {2\pi x}{l}}),\ \dots ,\ \cos({\frac {\pi nx}{l}}),\ \sin({\frac {\pi nx}{l}})$ називається основною тригонометричною системою на [–l; l].

Нехай $f:\ R\to R,2l$ – періодична інтегрована за Ріманом функція по відрізку [–l; l].

Числа $a_{0}={\frac {1}{l}}\int _{-l}^{l}f(x)dx,\ a_{n}={\frac {1}{l}}\int _{-l}^{l}f(x)\cos({\frac {\pi nx}{l}})dx,\ b_{n}={\frac {1}{l}}\int _{-l}^{l}f(x)\sin({\frac {\pi nx}{l}})dx,\ n\geq 1$ називаються коефіцієнтами Фур'є для функції f, а ряд

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos({\frac {\pi nx}{l}})+b_{n}\sin({\frac {\pi nx}{l}}))$ – рядом Фур'є для функції f.

Існують неперевні функції, такі, що відповідний їм ряд Фур'є не збігається до значення функції в жодній точці.

Зауваження: якщо f – парна, то $\forall n\geq 1:\ b_{n}=0$

якщо f – непарна, то $\forall n\geq 1:\ a_{n}=0$

Властивості ряду Фур'є:

1. Рівність Парсеваля: ${\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})={\frac {1}{l}}\int _{-l}^{l}f^{2}(x)dx$

2. Ряд Фур'є збігається в середньому квадратичному, тобто якщо $S_{n}(x)={\frac {a_{0}^{2}}{2}}\sum _{k=1}^{k}(a_{k}\cos({\frac {\pi kx}{l}})+b_{k}\sin({\frac {\pi kx}{l}}))$, то $\lim _{n\to \infty }\int _{-l}^{l}|f(x)-S_{n}(x)|^{2}dx=0$.

3. Поточкова збіжність:

• Якщо $f'(x_{0})$, то ряд Фур'є в точці $x_{0}$ збігається до $f(x_{0})$;

• Нехай в точці $x_{0}$ існують такі границі: $f(x_{0}+0),\ f(x_{0}-0),\ \lim _{u\to 0+0}{\frac {f(x_{0}+u)-f(x_{0}-0)}{u}},\ \lim _{u\to 0-0}{\frac {f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u}}$. Тоді ряд Фур'є в точці $x_{0}$ збігається до ${\frac {f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}}$.

4. Рівномірно збіжний на R тригонометричний ряд є рядом Фур'є для своєї суми.

5. $f\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos({\frac {\pi nx}{l}})+b_{n}\sin({\frac {\pi nx}{l}}))$, тоді ряд, отриманий почленним інтегруванням ряду Фур'є, рівномірно збігається на R до такої функції: $\int _{0}^{x}f(x)dx$

Теореми про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

l>0 Означення. Послідовність функцій 1, cos(Пx/l),sin(Пx/l), cos(2Пx/l),sin(2Пx/l),..., cos(nПx/l),sin(nПx/l) називається основною тригонометричною с-мою на відрізку [-l,l].

Нехай f:R->R  ??? Achtung (-2l)??? - періодична і інтегрована за Ріманом на [-l,l].

Числа:

a0=1/l integral^l_-l f(x)dx .... an=1/l integral^l_-l f(x)cos(nПx/l)dx, n>=1 bn=1/l integral^l_-l f(x)sin(nПx/l)dx, n>=1

наз. коефіцієнтами Фур"є для f, a ряд a0/2+СУМА^inf_n=1(ancos(nПx/l)+bnsin(nПx/l)) - рядом Фур"є

Влястивості ряду Фур"є.

1. Рівність Парсеваля.

a0/2+СУМА^inf_n=1(an^2+bn^2)=1/l integral^l_-l f^2(x)dx

Пусть f:R -> R -- непрерывно дифференцируемая 2П-периодическая функция. Как мы уже знаем, она представима своим рядом Фурье, а значит для всех х є R можно записать

f(x)=a_0/2+sum_n=1^inf (a_n\cos nx +b_n\sin nx)

При этом ее производная f' непрерывна и 2П-периодична, а значит о сходимости ее ряда Фурье мы ничего сказать не можем, но формальный ряд Фурье построить можно:

f'(x) хвилька a_0'/2+sum_n=1^inf (a_n'\cosnx + b_n'\sinnx)

Теорема (о дифференцировании ряда Фурье) . При сделанных выше предположениях справедливы равенства a0'=0, an'=nbn, bn'=-nan, n>=1.

Доказательство. Интегрируя по частям, получим для любого n> 0

a_n'=1/pi integral_-pi^pi f'(x)cosnx dx=1/pi [ f(x)cos nx |_-pi^pi+ integral_-pi^pi nf(x)sinnx dx]=((-1)^n[f(pi)-f(-pi)])/pi +nb_n=nb_n. Остальные равенства доказываются аналогично.

---

Пусть теперь функция g непрерывна, 2\pi-периодична и integral_-pi^pi g(x)dx=0.

Рассмотрим, кроме того, непрерывно дифференцируемую 2\pi-периодическую функцию G(x)=integral_0^xg(t)dt разложим ее в (сходящийся к ней) ряд Фурье:

G(x)= A_0/2+sum_n=1^inf (A_n\cosnx + B_n\sinnx)

Теорема (об интегрировании ряда Фурье) . При сделанных выше предположениях справедливы равенства A_0/2=sum_n=1^inf b_n/n, An=-bn/n, Bn=an/n n>=1.