Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Пікара

У [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] '''теоремами Пікара''' називаються дві теореми (мала і велика) про властивості [[Ціла функція|цілих функцій]] і функцій [[Голоморфна функція|голоморфних]] в околі [[Суттєво особлива точка|істотної особливої точки]].
== Твердження ==

=== Мала теорема Пікара ===
[[Область значень|Областю значень]] [[Ціла функція|цілої функції]], що не є рівною [[Константа|константі]], є вся [[комплексна площина]], за винятком, можливо, лише однієї точки.

=== Велика теорема Пікара ===
Якщо <math>f(z)</math> — однозначна [[голоморфна функція]] в [[окіл|околі]] точки <math>z=a</math>, яка є для неї [[суттєво особлива точка|суттєво особливою точкою]], то в кожному околі точки <math>z=a</math> функція <math>f(z)</math> приймає довільне скінченне значення, за винятком, можливо, одного.

== Доведення ==
Теореми Пікара мають кілька різних доведень. Нижче наведені доведення за допомогою так званої геометричної теорії голоморфних функцій, зокрема за допомогою [[Теорема Ландау|теорем Ландау]], [[Теорема Блоха (комплексний аналіз)|Блоха]] і [[Теорема Шотткі|Шотткі]].

=== Мала теорема Пікара ===
Малу теорему Пікара можна довести за допомогою [[Теорема Ландау|теореми Ландау]]. Припустимо, що [[ціла функція]] <math>f(z)</math> не має двох різних скінченних значень <math>a</math> і <math> b </math> і не є константою.

Розглянемо функцію <math> F(z) = \frac {f(z)-a} {b-a} </math>. Вона є голоморфною у всій площині, не рівною <math>0</math> і <math>1</math> і не є константою. Отже існує точка, яку можна вважати [[Початок координат|початком координат]], в якій похідна <math>F'(0) = \beta</math> не є рівною нулю. Нехай розклад функції в [[степеневий ряд]] в околі нуля буде <math> F (z) = \alpha + \beta z + a_ {2} z^{2} + ... </math>.

Оскільки функція <math>F(z)</math> є голоморфною і не рівною <math>0</math> і <math>1</math> всередині кола довільного радіуса <math>R</math>: <math>|z| < R </math>, то по теоремі Ландау маємо <math> R < \Omega (\alpha, \beta) </math>.

Суперечність цієї нерівності очевидна, оскільки в лівій її частині є довільне число <math>R</math>, а в правій — деяка константа <math>\Omega (\alpha, \beta) </math>.

=== Велика теорема Пікара ===
Нехай <math>f(z)</math> не є рівною двом скінченним значенням, за які можна взяти 0 і 1, як і у доведенні малої теореми. За допомогою [[Дробово-лінійне перетворення|дробово-лінійного перетворення]] незалежної змінної можна досягти того, що [[Суттєво особлива точка|істотно особлива точка]] буде нескінченною, а функція <math>f(z)</math> буде голоморфною і не рівною нулю і одиниці при <math>|z| \geqslant l/2.</math>

На основі [[Теорема Сохоцького — Вейєрштраса|теореми Сохоцького — Вейєрштраса]], можливо задати нескінченну послідовність точок <math>\lambda_n,</math> що збігається до нескінченної точки <math>\lim_{n \to \infty} \lambda_n = \infty,</math> і також для всіх ''n'' виконується нерівність <math>1/2 < |f(\lambda_n)| < 1 .</math> 

Для великих значень ''n'' функції <math>f_n(z) = f(\lambda_n z)</math> є голоморфними в області <math>|z| \geqslant l/2</math>
і <math>1/2 < |f_n(1)| < 1 .</math>

Застосовуючи [[Теорема Шотткі|теорему Шотткі]] до кола з центром в точці <math>z = 1</math> радіуса 1/2, одержуємо, що ці функції в колі з центром <math>z = 1</math> радіуса 1/4 по модулю є між двома константами. Стартуючи від кола з центром <math>z = 1</math> радіуса 1/4, можливо побудувати послідовність із скінченної кількості кіл радіуса 1/4 з центрами на колі <math>|z| = 1</math> так, щоб центр кожного наступного круга лежав всередині попереднього круга, і так, щоб вони разом покривали коло <math>|z| = 1.</math> 

Послідовне багаторазове застосування узагальненої теореми Шотткі до кіл радіуса 1/2, із центрами в елементах послідовності, показує, що в області утвореній колами радіуса 1/4, всі функції <math>f_n(z)</math> за модулем є між двома постійними числами. Зокрема ці функції на колі <math>|z| = 1</math> є обмеженими по модулю. Це твердження є 
рівнозначним тому, що функція <math>f(z)</math> на всіх колах <math>|z| = |\lambda_n|</math> за модулем є меншою деякої константи. Оскільки функція, що є голоморфною в кільці, включно із його границею, досягає максимуму свого модуля на границі, то <math>|f(z)|</math> в області <math>|z| \geqslant l/2</math> є меншим, ніж ця константа. Одержується протиріччя з [[Теорема Сохоцького — Вейєрштраса|теоремою Сохоцького — Вейєрштраса]], що і доводить справедливість великої теореми Пікара.

== Див. також ==
* [[Теорема Ландау]]
* [[Теорема Сохоцького — Вейєрштраса]]
* [[Теорема Шотткі]]

== Література ==
* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.
* {{книга|автор=Привалов И. И.|назва=Введение в теорию функций комплексного переменного|видання=12-е|місто=Москва|видавництво=Наука|рік=1977}}

[[Категорія:Комплексний аналіз]]
[[Категорія:Теореми в комплексному аналізі|Пікара]]