Функції Бесселя другого роду

Графіки функцій $\!Y_{0}(x)$ та $\!Y_{1}(x)$

Функція Бесселя 2-го роду $\!Y_{n}(x)$ (позначається також $\!N_{n}(x)$).

Інші назви — циліндрична функція 2-го роду n-ного порядку.

Визначення

Загальний розв'язок рівняння Бесселя при цілому $\!n$ має вигляд:

$\!y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)$.

Для не цілих $\!n$, функція $\!Y_{n}(x)$ визначається як:

$\!Y_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}}$

Для цілого $\!n$ функція функція $\!Y_{n}(x)$ визначається рівністю:

$Y_{n}(x)=\lim _{m\rightarrow n}{\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}=$

$={\frac {2}{\pi }}\left(C+\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)J_{n}(x)-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1_{}}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{n-2k}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty _{}}{\frac {(-1)^{k}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n+2k}\left(\Phi (n+k)+\Phi (k)\right)$,

де $\!m$ — близьке до $\!n$ число, $\!C$ — константа Ейлера ( $\!C=0.5772...$)

і $\!\Phi (k)=\sum _{s=1}^{k_{}}{\frac {1}{s}}$,

$\!\Phi (k)=0$.

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.