Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Алгебраїчні рівняння виду:
a
0
x
2
n
+
1
+
a
1
x
2
n
+
a
2
x
2
n
−
1
+
.
.
.
+
a
n
x
n
+
1
+
λ
a
n
x
n
+
λ
3
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
λ
2
n
−
1
a
1
x
+
λ
2
n
+
1
a
0
=
0
,
(
1
)
{\displaystyle a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+...+a_{n}x^{n+1}+{\lambda }a_{n}x^{n}+{\lambda }^{3}a_{n-1}x^{n-1}+...+{\lambda }^{2n-1}a_{1}x+{\lambda }^{2n+1}a_{0}=0,\qquad (1)}
a
0
x
2
n
+
a
1
x
2
n
−
1
+
a
2
x
2
n
−
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
+
1
+
a
n
x
n
+
λ
a
n
−
1
x
n
−
1
+
λ
2
a
n
−
2
x
n
−
2
+
.
.
.
+
λ
n
−
1
a
1
x
+
λ
n
a
0
=
0
(
2
)
{\displaystyle a_{0}x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+...+a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+{\lambda }a_{n-1}x^{n-1}+{\lambda }^{2}a_{n-2}x^{n-2}+...+{\lambda }^{n-1}a_{1}x+{\lambda }^{n}a_{0}=0\qquad (2)}
називаються зворотними , де
λ
{\displaystyle \lambda \ }
a
0
≠
0
{\displaystyle a_{0}\neq 0}
λ
=
1
{\displaystyle {\lambda }=1}
симетричними .
Зворотне рівняння непарного степеня (1) завжди має корінь
x
=
−
λ
{\displaystyle x=-{\lambda }}
a
0
(
x
2
n
+
1
+
λ
2
n
+
1
)
+
a
1
x
(
x
2
n
−
1
+
λ
2
n
−
1
)
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
(
x
3
+
λ
3
)
+
a
n
x
n
(
x
+
λ
)
=
0
{\displaystyle a_{0}(x^{2n+1}+{\lambda }^{2n+1})+a_{1}x(x^{2n-1}+{\lambda }^{2n-1})+...+a_{n-1}x^{n-1}(x^{3}+{\lambda }^{3})+a_{n}x^{n}(x+{\lambda })=0}
Після ділення лівої частини на
x
+
λ
{\displaystyle x+{\lambda }}
Для розв'язку рівняння парного степеня поділимо (2) на
x
n
{\displaystyle x^{n}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
a
0
(
x
n
+
(
λ
x
)
n
)
+
a
1
(
x
n
−
1
+
(
λ
x
)
n
−
1
)
+
.
.
.
+
a
n
−
1
(
x
+
λ
x
)
+
a
n
=
0
(
3
)
{\displaystyle a_{0}\left(x^{n}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{n}\right)+a_{1}\left(x^{n-1}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{n-1}\right)+...+a_{n-1}\left(x+{{\lambda } \over x}\right)+a_{n}=0\qquad (3)}
Зробимо заміну
t
=
x
+
λ
x
{\displaystyle t={x+{{\lambda } \over x}}}
x
2
+
(
λ
x
)
2
=
t
2
−
2
λ
,
{\displaystyle x^{2}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{2}=t^{2}-2{\lambda },}
x
3
+
(
λ
x
)
3
=
(
x
+
λ
x
)
3
−
3
λ
(
x
+
λ
x
)
=
t
3
−
3
λ
t
,
{\displaystyle x^{3}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{3}=\left(x+{{\lambda } \over x}\right)^{3}-3{\lambda }\left(x+{{\lambda } \over x}\right)=t^{3}-3{\lambda }t,}
x
4
+
(
λ
x
)
4
=
(
x
+
λ
x
)
4
−
4
λ
(
x
2
+
λ
2
x
2
)
−
6
λ
2
=
t
4
−
4
λ
t
2
+
2
λ
2
,
{\displaystyle x^{4}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{4}=\left(x+{{\lambda } \over x}\right)^{4}-4{\lambda }\left(x^{2}+{{\lambda }^{2} \over x^{2}}\right)-6{\lambda }^{2}=t^{4}-4{\lambda }t^{2}+2{\lambda }^{2},}
і т. д., тоді рівняння (3) степеня
2
n
{\displaystyle 2n}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
t
{\displaystyle t}
