Перегляд вихідного коду сторінки Інцидентність (геометрія)

Відношення '''інцидентності'''&nbsp;— це [[бінарне відношення]] між двома різними типами об'єктів. Воно включає поняття, які можна виразити такими фразами як «точка лежить на прямій» або «пряма належить площині». Найістотніше відношення інцидентності&nbsp;— між точкою {{Math|''P''}} і прямою {{Math|''l''}} яке записується як {{Math|''P'' I ''l''}}. Якщо {{Math|''P'' I ''l''}} пара {{Math|(''P'', ''l'')}} називається ''прапором.'' У розмовній мові існує багато виразів, що описують відношення інцидентності (наприклад, пряма ''проходить через'' точку, точка ''лежить на'' площині тощо), проте термін «інцидентна» кращий, оскільки не передбачає додаткових супутніх понять і може бути використаний [[Симетричне відношення|симетрично]], відбиваючи властивість симетричності відношення. Твердження, такі як «пряма {{Math|''l''<sub>1</sub>}} перетинає пряму {{Math|''l''<sub>2</sub>}}» також є твердженнями про відношення інцидентності, але в цьому випадку простіше сказати: «існує точка {{Math|''P''}}, інцидентна обом прямим {{Math|''l''<sub>1</sub>}} і {{Math|''l''<sub>2</sub>}}». Коли один тип об'єктів можна розглядати як множину об'єктів іншого типу (''а саме,'' площина є множиною точок), відношення інцидентності можна розглядати як включення.

Твердження вигляду «будь-які дві прямі на площині перетинаються» називаються ''твердженнями інцидентності''. Такі твердження істинні в [[Проєктивна площина|проєктивних площинах]], але хибні на [[Двовимірний простір|евклідових]], де прямі можуть бути [[Паралельність|паралельними]]. Історично, [[Проєктивна геометрія|проєктивну геометрію]] запропоновано для того, щоб твердження інцидентності було істинним без винятків. З точки зору [[Синтетична геометрія|синтетичної геометрії]] проєктивну геометрію ''слід'' створювати, використовуючи такі твердження як [[Аксіома|аксіоми]]. Найістотніший такий підхід для проєктивних площин, зважаючи на істинність [[Теорема Дезарга|теореми Дезарга]] для вищих розмірностей.

Аналітичний підхід, навпаки, визначає [[проєктивний простір]] на основі [[Лінійна алгебра|лінійної алгебри]] з використанням [[Однорідні координати|однорідної системи координат]]. Відношення інцидентності виводиться з такого базового результату для [[Векторний простір|векторних просторів]]: якщо дано підпростори {{Math|''U''}} і {{Math|''W''}} векторного простору {{Math|''V''}} (скінченної розмірності), розмірність їх перетину дорівнює {{Math|dim ''U'' + dim ''W'' &minus; dim (''U'' + ''W'')}} Якщо взяти до уваги, що геометрична розмірність проєктивного простору {{Math|'''P'''(''V'')}}, асоційованого з {{Math|''V''}}, дорівнює {{Math|dim ''V'' &minus; 1}} і що геометрична розмірність будь-якого підпростору додатна, базове твердження інцидентності в цих умовах набуде вигляду: [[Векторний простір|лінійні підпростори]] {{Math|''L''}} і {{Math|''M''}} проєктивного простору {{Math|''P''}} перетинаються за умови, що {{Math|dim ''L'' + dim ''M'' ≥ dim ''P''}}.<ref>{{Harvard citation|Broida, Williamson|1998}} Теорема стверджує, що {{Math|1=dim (''L'' + ''M'') = dim ''L'' + dim ''M'' &minus; dim (''L'' ∩ ''M'')}}. Тоді з {{Math|dim ''L'' + dim ''M'' > dim ''P''}} випливає, що {{Math|dim (''L'' ∩ ''M'') > 0}}.</ref>

Подальші розділи стосуються [[Проєктивна площина|проєктивних площин]], визначених над [[Поле (алгебра)|полями]]. Такі площини часто позначають як {{Math|PG(2, ''F'')}} або {{Math|'''P'''<sup>2</sup>''F''}}, де {{Math|''F''}}&nbsp;— поле. Однак ці міркування можна природним чином поширити на простори вищих розмірностей, а поле можна замінити [[Тіло (алгебра)|тілом]] з урахуванням, що в цьому випадку множення не буде [[Комутативність|комутативним]].

== {{Math|PG(2,''F'')}} ==
Нехай {{Math|''V''}}&nbsp;— тривимірний векторний простір, визначений над полем {{Math|''F''}}. Проєктивна площина {{Math|1='''P'''(''V'') = PG(2, ''F'')}} складається з одновимірних векторних підпросторів простору {{Math|''V''}} які називають ''точками,'' і двовимірних векторних підпросторів {{Math|''V''}} які називають ''прямими.'' У визначенні передбачається, що всі розглянуті підпростори містять одну виділену точку. Інцидентність точки і прямої визначається належністю одновимірного підпростору двовимірному.

Якщо зафіксувати базис {{Math|''V''}}, то ми можемо описати вектори як координатні трійки (відносно базису). Одновимірний векторний підпростір складається з ненульового вектора і всіх векторів, отриманих із нього множенням на (ненульовий) скаляр. Всі такі вектори, записані у вигляді координатних трійок, відповідають координатам даної точки в однорідній системі координат. Відносно зафіксованого базису простір рішень лінійного рівняння {{Math|1={(''x'', ''y'', ''z'') {{!}} ''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 0}} є двовимірним підпростором простору {{Math|''V''}}, а тому є прямою в {{Math|'''P'''(''V'')}}. Цю пряму можна позначити ''координатами прямої'' {{Math|[''a'', ''b'', ''c'']}} які також є однорідними координатами, оскільки множення на ненульовий скаляр дає ту саму пряму. Інші позначення також широко використовуються. Координати точки можна записати як вектор-стовпець {{Math|(''x'', ''y'', ''z'')}}<sup>T</sup>, з двокрапкою {{Math|(''x'' : ''y'' : ''z'')}} або з індексом {{Math|(''x'', ''y'', ''z'')<sub>P</sub>}}. Відповідно, координати прямої можна записати як вектор-рядок {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}}, з двокрапкою {{Math|[''a'' : ''b'' : ''c'']}} або з індексом {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')<sub>L</sub>}}. Можливі й інші варіанти позначень.

== Алгебричний вираз інцидентності ==
Якщо дано точку {{Math|1=''P'' = (''x'', ''y'', ''z'')}} і пряму {{Math|1=''l'' = [''a'', ''b'', ''c'']}} записані в термінах координат точки і прямої, точка інцидентна прямій (часто записується як {{Math|''P'' I ''l''}} [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли

:: {{Math|1=''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 0}}.

В інших позначення це можна виразити як:

: <math>ax + by + cz = [a,b,c] \cdot (x,y,z) =(a,b,c)_L \cdot (x,y,z)_P =</math>

: <math> = [a:b:c] \cdot (x:y:z) = (a,b,c) \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ) = 0. </math>

Незалежно від позначень, коли однорідні координати точки і прямої розглядаються як дві впорядковані трійки, інцидентність прямої і точки виражається як рівність їх [[Скалярний добуток|скалярного добутку]] нулю.

== Інцидентність прямої парі різних точок ==
Нехай дано пару різних точок {{Math|''P''<sub>1</sub>}} і {{Math|''P''<sub>2</sub>}} з однорідними координатами {{Math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>)}} і {{Math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>)}} відповідно. Ці точки визначають єдину пряму {{Math|''l''}} з рівнянням вигляду <math>ax + by + cz = 0</math>, яка має задовольняти рівнянням:

: <math>ax_1 + by_1 + cz_1 = 0</math>
: <math>ax_2 + by_2 + cz_2 = 0</math>.

У матричному вигляді цю систему можна переписати як

: <math>\left( \begin{matrix} x & y & z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right).</math>

Ця система має нетривіальний розв'язок тоді і тільки тоді, коли [[визначник]] дорівнює нулю

: <math> \left| \begin{matrix} x & y & z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| = 0.</math>

Розкриття цього рівняння для визначника дає однорідні лінійні рівняння, які мають бути рівнянням прямої {{Math|''l''}}. Таким чином, з точністю до ненульового сталого множника маємо <math>l = [a, b, c]</math>, де

: <math>a = y_1z_2 - y_2z_1</math>
: <math>b = x_2z_1 - x_1z_2</math>
: <math>c = x_1y_2 - x_2y_1</math>.

У термінах [[Мішаний добуток|змішаного добутку]] векторів рівняння для прямої можна переписати як

: <math>P \cdot P_1 \times P_2 = 0</math>,

де <math>P = (x, y, z)</math>&nbsp;— точка.

=== Колінеарність ===
Точки, інцидентні одній прямій, називають ''колінеарними.'' Множина всіх точок, інцидентних одній прямій, називається [[Проєктивний відрізок|проєктивним відрізком]].

Якщо {{Math|1=''P''<sub>1</sub> = (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>), ''P''<sub>2</sub> = (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>)}} і {{Math|1=''P''<sub>3</sub> = (''x''<sub>3</sub>, ''y''<sub>3</sub>, ''z''<sub>3</sub>)}}, то ці точки колінеарні тоді і тільки тоді коли

: <math> \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{matrix} \right| = 0,</math>

тобто тоді і тільки тоді, коли [[визначник]] однорідних координат дорівнює нулю.

== Перетин пар прямих ==
Нехай дано пару різних прямих <math>l_1 = [a_1, b_1, c_1]</math> і <math>l_2 = [a_2, b_2, c_2]</math>. Тоді перетином прямих <math>l_1</math> і <math>l_2</math> буде точка <math>P = (x_0, y_0, z_0) </math>, Яка є одночасним розв'язком (з точністю до сталого множника) системи лінійних рівнянь

: <math>a_1x + b_1y + c_1z = 0</math> і
: <math>a_2x + b_2y + c_2z = 0</math>.

Розв'язок цих рівнянь дає

: <math>x_0 = b_1c_2 - b_2c_1</math>,
: <math>y_0 = a_2c_1 - a_1c_2</math> і
: <math>z_0 = a_1b_2 - a_2b_1</math>.

Альтернативно, розглянемо іншу пряму <math>l = [a, b, c]</math>, що проходить через точку {{Math|''P''}} тобто однорідні координати точки {{Math|''P''}} задовольняють рівнянню

: <math>ax+ by + cz = 0</math>.

Комбінуючи це рівняння з рівняннями, що визначають точку {{Math|''P''}} ми можемо бачити нетривіальний розв'язок матричного рівняння

: <math>\left( \begin{matrix} a & b & c \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right).</math>

Таке рішення можливо, лише коли

: <math> \left| \begin{matrix} a & b & c \\ a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \end{matrix} \right| = 0.</math>

Коефіцієнти {{Math|''a'', ''b''}} і {{Math|''c''}} в рівнянні дають однорідні координати точки {{Math|''P''}}.

Рівняння загального вигляду для прямої, що проходить через точку {{Math|''P''}} в позначеннях змішаного добутку має вигляд

: <math>l \cdot l_1 \times l_2 = 0</math>.

=== Перетин ===
Множину всіх прямих на площині, інцидентних одній і тій самій точці, називають ''пучком прямих,'' центрованим у цій точці. Обчислення перетину двох прямих показує, що весь пучок визначається двома прямими, що перетинаються в даній точці. Звідси негайно випливає, що алгебричною умовою перетину трьох прямих <math>[a_1, b_1, c_1], [a_2, b_2, c_2], [a_3, b_3, c_3]</math> в одній точці є рівність нулю визначника

: <math> \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| = 0.</math>

== Див. також ==
* [[Теорема Менелая]]
* [[Теорема Семереді — Троттера]]
* [[Теорема Чеви]]
* [[Конциклічні точки]]
* [[Матриця інцидентності]]
* {{Не перекладено|Алгебра інцидентності||en|Incidence algebra}}
* [[Структура інцидентності]]
* [[Геометрія інцидентності]]
* [[Граф Леві]]
* [[Аксіоматика Гільберта]]

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Книга
|автор = Dorwart Harold L.
|ref = Dorwart
|рік = 1966
|заголовок = The Geometry of Incidence
|видавництво = [[Prentice Hall]]
}}
* {{Книга|издательство
|автор = Broida Joel G., Williamson S. Gill
|ref = Broida, Williamson
|рік = 1998
|заголовок = A Comprehensive Introduction to Linear Algebra
|посилання = https://archive.org/details/comprehensiveint0000broi
|сторінки = [https://archive.org/details/comprehensiveint0000broi/page/86 86] Theorem 2.11
|видавництво = [[Addison-Wesley]]
|ISBN = 0-201-50065-5
}}
{{Refend}}
[[Категорія:Проєктивна геометрія]]