Перегляд вихідного коду сторінки Вузловий аналіз (електротехніка)

[[Файл:KCL.png|обрамити|Закон Кірхгофа є основою вузлового аналізу.]]
'''Вузловий аналіз'''&nbsp;— у [[електротехніка|електротехніці]] є методом визначення напруги ([[Різниця потенціалів|різниці потенціалів]]) між «вузлами» (це точки, де елементи кола з'єднуються між собою) [[Електричне коло|електричного ланцюга]].

При аналізі схеми за допомогою [[Правила Кірхгофа|правил Кірхгофа]] можна або провести вузловий аналіз з використанням закону Кірхгофа, або сітковий аналіз з використанням закону напруги Кірхгофа.

Вузловий аналіз надає компактну множину рівнянь для мережі, які можуть бути розв'язані вручну або за допомогою комп'ютера. Багато програм схематичного моделювання (напр. [[SPICE]]) беруть за основу вузловий аналіз саме через компактний набір рівнянь.

Також існує модифікований вузловий аналіз.

== Метод ==
# Перевірте всі під'єднані до схеми ланки проводів. Це будуть ''вузли'' вузлового аналізу.
# Виберіть один вузол як точку заземлення. Вибір не впливає на підсумок і є лише питанням конвенції. Вибір вузла з більшістю з'єднань, може спростити аналіз. Для схеми N вузлів число вузлових рівнянь є N-1.
# Введіть змінну для кожного вузла, де напруга є невідомою. Якщо напруга вже відома, не потрібно вводити змінну.<br/>
# Для кожної невідомої напруги, утворюють рівняння на основі закону Кірхгофа. Потрібно скласти всі значення струму, що виходять з вузла та прирівняти їх до нуля. Значення струму між двома вузлами не може бути більше, ніж «вузол з більш високим потенціалом мінус вузол з більш низьким потенціалом, поділений на опір між двома вузлами».
# За наявності джерела напруги між двома невідомими потрібно з'єднати два вузли у «супервузол». Струми двох вузлів об'єднаються в одне рівняння, і сформується нове рівняння для напруги.
# Розв'язати систему рівнянь для кожного невідомого значення напруги.

== Приклади ==

=== Простий випадок ===
[[Файл:Nodal_analysis.svg|праворуч|міні|280x280пкс|Основний приклад електричного кола з одною невідомою напругою, V1.]]
Невідомим на цій схемі є значення напруги V<sub>1</sub>. Є три підключення до цього вузла і, отже, три течії, які слід враховувати. Напрямок струмів в розрахунках вибирається так, щоб знаходився далеко від вузла.
# Струм через резистор R<sub>1</sub>: (V<sub>1</sub>&nbsp;— V<sub>S</sub>) / R<sub>1</sub>
# Струм через резистор R<sub>2</sub>: V<sub>1</sub> / R<sub>2</sub>
# Струм через джерело струму I<sub>S</sub>: -I<sub>S</sub>

Згідно закону Кірхгофа отримаємо:

<math>\frac{V_1 - V_S}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} - I_S = 0</math>


Виразимо V<sub>1</sub>:

<math>V_1 = \frac{\left( \frac{V_S}{R1} + I_S \right)}{\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}</math>



Таким чином, невідоме значення напруги може бути знайденим підставляючи чисельні значення символів. Будь-які невідомі струми легко обчислити після того, як всі напруги в електричному колі відомі.

<math>V_1 = \frac{\left( \frac{5\text{ V}}{100\,\Omega} + 20\text{ mA} \right)}{\left( \frac{1}{100\,\Omega} + \frac{1}{200\,\Omega} \right)} \approx 4.667\text{ V}</math>

=== Супервузли ===
[[Файл:Supernode_in_circuit_analysis.svg|праворуч|міні|242x242пкс|У цій схемі Vа, знаходиться між двома невідомими напругами і тому є супервузлом.]]
Струм, що проходить через джерело напруги V<sub>A</sub> не може бути безпосередньо розрахований. Тому ми не можемо записати поточні рівняння V<sub>1</sub> або V<sub>2</sub>. Тим не менш, ми знаємо, що той же струм, залишаючи вузол V<sub>2</sub>, повинен увійти у вузол V<sub>1</sub>. Попри те, що вузли не можуть бути індивідуально розв'язані, ми знаємо, що комбінований струм цих двох вузлів, дорівнює нулю. Це об'єднання двох вузлів, називається ''методом супервузлів'', і вимагає одного додаткового рівняння: V<sub>1</sub> = V<sub>2</sub> + V<sub>A</sub>.

Повна множина рівнянь має такий вигляд:

<math>
\begin{cases}
\frac{V_1 - V_\text{B}}{R_1} + \frac{V_2 - V_\text{B}}{R_2} + \frac{V_2}{R_3} = 0\\
V_1 = V_2 + V_\text{A}\\
\end{cases}
</math>

Підставивши V<sub>1</sub> в перше рівняння і виразивши V<sub>2,</sub> отримали:

<math>
V_2 = \frac{(R_1 + R_2) R_3 V_\text{B} - R_2 R_3 V_\text{A}}{(R_1 + R_2) R_3 + R_1 R_2}
</math>

== Див. також ==
* [[Закон збереження електричного заряду]]
* [[Правила Кірхгофа]]
* [[Контурний аналіз]]
* [[Теорія електричних кіл]]
* [[Вузловий аналіз (нафтогазовидобування)]]
* [[Метод еквівалентного генератора]]

== Література ==
* P. Dimo Nodal Analysis of Power Systems Abacus Press Kent 1975

== Посилання ==
* [http://www.allaboutcircuits.com/vol_1/chpt_10/2.html Branch current method] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150508020600/http://www.allaboutcircuits.com/vol_1/chpt_10/2.html |date=8 травня 2015 }}
* [http://www.catc.ac.ir/mazlumi/node.php Online four-node problem solver] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170503165245/http://www.catc.ac.ir/mazlumi/node.php |date=3 травня 2017 }}
* [https://web.archive.org/web/20101102223251/http://wiki.syncleus.com/index.php/Nodal_Analysis Simple Nodal Analysis Example]
* [http://zyurvas.narod.ru/Queuing/Imit_model.pdf ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170516224125/http://zyurvas.narod.ru/Queuing/Imit_model.pdf |date=16 травня 2017 }} Жерновий Ю. В. [http://www.lnu.edu.ua/ ЛНУ ім. Івана Франка] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101217154617/http://lnu.edu.ua/ |date=17 грудня 2010 }}
* [https://web.archive.org/web/20171013200950/http://www.ktf.franko.lviv.ua/books/ZbirnykTM.pdf Збірник задач з теоретичної механіки] 
* [http://www.lnu.edu.ua/ ЛНУ ім. Івана Франка] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101217154617/http://lnu.edu.ua/ |date=17 грудня 2010 }}

[[Категорія:Електротехніка]]
[[Категорія:Електронні схеми]]