Перегляд вихідного коду сторінки Відношення рівності

{| align=right
|<math>\begin{matrix}
  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
0 & \bullet & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ \\
1 & \circ & \bullet & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ \\
2 & \circ & \circ & \bullet & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ \\
3 & \circ & \circ & \circ & \bullet & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ \\
4 & \circ & \circ & \circ & \circ & \bullet & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ \\
5 & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \bullet & \circ & \circ & \circ & \circ \\
6 & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \bullet & \circ & \circ & \circ \\
7 & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \bullet & \circ & \circ \\
8 & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \bullet & \circ \\
9 & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \circ & \bullet \\
\end{matrix}</math>
Рівність [[арабські цифри|десяткових цифр]] як бінарне відношення:
|}
'''Рівність''' (відношення рівності) в [[математика|математиці]] — [[бінарне відношення]], найбільш логічно сильний випадок [[відношення еквівалентності]].

== Означення ==
Рівність є інтуїтивно очевидним відношенням: значення двох виразів ''[[Тотожність|однакові]]''. При її означенні можуть виникати несумісності.

[[Теорія множин]], за означенням вважає два об'єкти (дві ''[[множина|множини]]'') рівними, якщо вони складаються з однакових елементів:
: <math>A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B)</math>

В теоріях з типізацією об'єктів відношення рівності має зміст лише між елементами одного типу (всередині певної множини). Логіцисти (спочатку в логіці предикатів [[Готлоб Фреге|Фреге]], потім в рамках [[Теорія типів|теорії типів]]) спиралися на означення рівності, подібне до множинного, але розглядаючи відношення з іншого боку:
: <math>x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y)</math>
Точніше кажучи, [[необхідно і достатньо]], щоб будь-який [[предикат]], що може бути побудований на цьому типі, давав на них однакове логічне значення. Щоправда, це означення було відомо ще [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцу]].

Деякі формальні теорії вважають рівність наперед заданим відношенням еквівалентності.

== Пов'язані означення ==
Формальне означення рівності інколи є несумісним з інтуїтивним. Наприклад, чи можна вважати рівним [[Цілі числа|ціле число]] 1 дійсному числу <math>e^0</math>? З погляду інтуїції — так, а з погляду теорії типів питання поставлене неправильно через проблему з приведенням типів. В математиці в будь-якому випадку мається на увазі ''канонічне викладення'' однієї множини (простору, типу) в іншу, більшу. Рівність цілого числа дійсному можна сприймати як рівність власне дійсного та іншого [[Дійсне число|дійсного числа]], ''відповідному'' нашому цілому. Тоді робота з інтуїтивно «очевидними» фактами, типу будь-яке ціле число є раціональним, а раціональне — дійсним, може вимагати деяких уточнень.

* [[Рівняння]] — логічний вислів, побудований на рівності, в яке входить [[змінна]]. Воно задає підмножину предметної області змінної — множину коренів рівняння.
* [[Тотожність]] — вислів, правильний незалежно від значення змінних. Часто, але не обов'язково будується на відношеннях рівності.

== Деякі базові властивості рівності в математиці ==

* Для будь-яких дійсних чисел ''a'' і ''b'' таких, що ''a'' = ''b'' виконується співвідношення f(''a'') = f(''b'');
* Для будь-яких дійсних чисел ''a'', ''b'', ''c'', якщо ''a'' = ''b'', виконується співвідношення ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''c'';
* Для будь-яких дійсних чисел ''a'', ''b'', ''c'', якщо ''a'' = ''b'', виконується співвідношення ''a'' - ''c'' = ''b'' - ''c'';
* Для будь-яких дійсних чисел ''a'', ''b'', ''c'', якщо ''a'' = ''b'', виконується співвідношення ''ac'' = ''bc'';
* Для будь-яких дійсних чисел ''a'', ''b'', ''c'', якщо ''a'' = ''b'' and ''c'' не дорівнює 0, виконується співвідношення ''a''/''c'' = ''b''/''c''.

* Для будь-якого ''a'', ''a'' = ''a'';
* Для будь-яких дійсних чисел ''a'', ''b'' якщо ''a'' = ''b,'' то ''b''=''a'';
* Для будь-яких дійсних чисел ''a'', ''b'', ''c'' зі співвідношень ''a'' = ''b'' та ''b''=''c'' випливає ''a''=''c'' (властивість транзитивності);

== Див. також ==
* [[Таблиця математичних символів]]
* [[Присвоєння (програмування)]]
* [[Порівняння (математика)]]
* [[Еквівалентність]]

== Джерела ==
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}

[[Категорія:Бінарні відношення]]
[[Категорія:Елементарна арифметика]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Еквівалентність (математика)]]