Перегляд вихідного коду сторінки Групи симетрії

'''Група симетрії''' (також '''група симетрій''') деякого об'єкта (багатогранника або множини точок [[Метричний простір|метричного простору]]) ― [[Група (математика)|група]] всіх [[Ізометрія (математика)|рухів]], для яких даний об'єкт є [[Інваріант (математика)|інваріантом]], з [[Композиція функцій|композицією]] в якості групової операції. Як правило, розглядаються множини точок ''n''-вимірного [[Евклідів простір|евклідового простору]] і рухи цього простору, але поняття групи симетрії зберігає свій сенс і в більш загальних випадках.

== Приклади ==

* Група симетрії [[Відрізок|відрізка]] в одновимірному просторі містить два елементи: тотожне перетворення і [[Відбиття (геометрія)|відбиття]] відносно середини відрізка. Але в двовимірному [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] існує вже 4 рухи, що переводять заданий відрізок у себе. У тривимірному просторі відрізок володіє нескінченною множиною симетрій (елементами групи симетрії будуть, зокрема, повороти на довільний кут навколо прямої, що містить цей відрізок).
* Група симетрії [[Правильний трикутник|рівностороннього трикутника]] на площині складається з тотожного перетворення, поворотів на кути 120° і 240° навколо центру трикутника і відбиттів щодо його висот. В цьому випадку група симетрії складається з 6 перетворень, які здійснюють всі можливі перестановки вершин трикутника. Отже, ця група ізоморфна [[Симетрична група|симетричній групі]] S<sub>3</sub>. Однак група симетрії [[квадрат]]а має порядок 8, а симетрична група S<sub>4</sub> ізоморфна групі симетрії правильного тетраедра.
* Група симетрії різнобічного трикутника тривіальна, тобто складається з одного елемента ― тотожного перетворення.
* Якщо вважати, що людське тіло дзеркально симетричне, то його група симетрії складається з двох елементів: тотожного перетворення і відбиття відносно площини, яка поділяє тіло на симетричні одна одній праву і ліву частини.
* Довільне періодичне [[Теселяція|замощення]] площини (або [[Група орнаменту|орнамент]]<ref>У математиці замощення простору називається мозаїкою або [[Теселяція|паркетом]]</ref>) має групу симетрії, елементи якої усіма можливими способами суміщують певний фіксований елемент замощення з кожним [[Конгруентність (геометрія)|конгруентним]] йому елементом. Це частковий (двовимірний) випадок кристалографічних груп, про які сказано далі.
* Групи симетрії решіток. В різних галузях математики використовуються різні поняття решітки. Зокрема:
** У фізиці твердого тіла і теорії кристалографічних груп [[Кристалічна ґратка|кристалічна решітка]]&nbsp;— це множина точок [[Афінний простір|афінного простору]], що має трансляційну симетрію. Симетрії цієї множини повинні зберігати відстань між точками, тобто бути [[Ізометрія (математика)|рухами]]. Група цих рухів&nbsp;— це [[Просторова група|кристалографічна група]] (або сюр'єктивно [[Гомоморфізм груп|гомоморфно відображається]] в кристалографічну групу)<ref>{{книга-ру|автор=Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan|заглавие=Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces|издательство=AMS|год=2003|pages=288|isbn=0-8218-3383-9}}</ref>.
** В теорії груп [[Ґратка (теорія груп)|ґратка]]&nbsp;— це група, ізоморфная <math>\Z^n</math>з білінійною формою на ній (у тривимірному евклідовому просторі відповідає [[Ґратка Браве|Ґратці Браве]] з теорії кристалографічних груп з виділеним початком координат). Симетрії такої ґратки повинні бути [[Ізоморфізм груп#Автоморфізм групи|автоморфізмами групи]]. Група таких автоморфізмів, на відміну від кристалографічної групи, скінченна, якщо білінійна форма ґратки відповідає евклідовому простору<ref>{{книга-ру|автор=J. H. Conway and N. J. A. Sloane|заглавие=Sphere Packings, Lattices and Groups|издание=3rd ed|издательство=Springer-Verlag New York, Inc.|год=1999|pages=90|isbn=0-387-98585-9}}</ref>.

== Класифікація ==
Ниже вважається, що для кожної точки <math>x \in \mathbb E^n</math> множина образів <math>\{ g(x)|g \in G \}</math>, де <math>G</math>&nbsp;— група симетрії, топологічно замкнута.

=== Одновимірний простір ===
Кожен рух одновимірного простору є або [[Паралельне перенесення|перенесенням]] всіх точок прямої на деяку фіксовану відстань, або [[Відбиття (геометрія)|відбиттям]] відносно деякої точки. Множина точок одновимірного простору має одну з таких груп симетрії:

* [[тривіальна група]]; ''C''<sub>1</sub>;
* група, що складається з тотожного перетворення і відбиття відносно точки (ізоморфна [[Циклічна група|циклічній групі]] ''C''<sub>2</sub>);
* нескінченні групи, що складаються із степенів деякого перенесення (ізоморфна нескінченній циклічній групі);
* нескінченні групи, для яких твірними є деяке перенесення і відбиття відносно деякої точки;
* група всіх перенесень (ізоморфна адитивній групі [[Дійсне число|дійсних чисел]]);
* група всіх перенесень і відбиттів відносно кожної точки прямої.

=== Двовимірний простір ===
У двовимірному випадку групи симетрії поділяються на такі класи:

* [[Циклічна група|циклічні групи]] ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>, …, що складаються з поворотів навколо нерухомої точки на кути, кратні 360°/''n'';
* [[Діедральна група|діедральні групи]] ''D''<sub>1</sub>, ''D''<sub>2</sub>, ''D''<sub>3</sub>, …;
* [[спеціальна ортогональна група]] SO(2);
* [[ортогональна група]] O(2);
* 7 [[Група бордюру|груп бордюру]];
* 17 [[група орнаменту|груп орнаменту]] (або плоских [[Просторова група|кристалографічних груп]]);
* нескінченні групи, які виходять з одновимірних груп симетрії додаванням перенесень вздовж напрямку, перпендикулярного до початкової прямої;
* попередній пункт, до якого додається симетрія відносно початкової прямої.

=== Тривимірний простір ===
Перелік [[Скінченна група|скінченних груп]] симетрії складається з 7 нескінченних серій і 7 випадків, що розглядаються окремо. У цей перелік входять 32 точкові [[Просторова група|кристалографічні групи]] і групи симетрії [[Правильний многогранник|правильних багатогранників]].

Неперервні групи симетрії включають:

* групу симетрії прямого кругового [[конус]]а
* групу симетрії кругового [[циліндр]]а
* групу симетрії [[Сфера|сфери]]

== Див. також ==

* [[Правильний многогранник|Правильні багатогранники]]
* {{Нп|Список кристалографічних груп||ru|Список кристаллографических групп}}
* [[Точкова група|Точкова група симетрії]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
=== Іншими мовами ===
* {{книга-ру
 |автор         = Г. Вейль
 |заглавие      = Симметрия
 |ответственный = 
 |ссылка        = 
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1968
 |страниц       = 
 |isbn          = 
 }}
* ''Miller, Willard Jr.'' [https://web.archive.org/web/20100217091244/http://www.ima.umn.edu/~miller/symmetrygroups.html Symmetry Groups and Their Applications].&nbsp;— New York: Academic Press, 1972.
[[Категорія:Симетрія]]
[[Категорія:Теорія груп]]