Перегляд вихідного коду сторінки Математичний об'єкт

'''Математичний об'єкт'''&nbsp;— це [[абстрактний об'єкт]], який виникає в [[Математика|математиці]]. Це поняття вивчається у [[Філософія математики|філософії математики]].

У математичній практиці об'єктом є все, що було (або могло б бути) формально визначеним, і з допомогою чого можна робити [[Дедукція|дедуктивні міркування]] та [[Доведення|математичні доведення]]. Зазвичай зустрічаються математичні об'єкти, що включають:
* [[Число|числа]], [[цілі числа]], [[Розбиття числа|цілочисельні розбиття]] або [[Вираз (математика)|вирази]].

[[Комбінаторика]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[Перестановка|перестановки]], [[Безлад (перестановка)|безлади]], [[Комбінація (комбінаторика)|комбінації]].

[[Теорія множин]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[множина]], [[Розбиття множини|розбиття множин]],
* [[Функція (математика)|функції]] та [[Бінарне відношення|відношення]].

[[Геометрія]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[Точка|точки]], [[Пряма|прямі]], [[Відрізок|відрізки]],
* [[Многокутник|багатокутники]] ([[Трикутник|трикутники]], [[Квадрат|квадрати]], [[П'ятикутник|п'ятикутники]], [[Шестикутник|шестикутники]], …), [[Коло|кола]], [[Еліпс|еліпси]], [[Парабола|параболи]], [[Гіпербола (математика)|гіперболи]],
* [[Многогранник]]и ([[Чотиригранник|тетраедри]], [[Куб|куби]], [[Октаедр|октаедри]], [[Дванадцятигранник|додекаедри]], [[ікосаедр]]и), [[Сфера|сфери]], [[Еліпсоїд|еліпсоїди]], [[Параболоїд|параболоїди]], [[Гіперболоїд|гіперболоїди]], [[Циліндр|циліндри]], [[Конус|конуси]].

[[Теорія графів]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[Граф (математика)|графи]], [[Дерево (теорія графів)|дерево]], [[Вершина (теорія графів)|вершина]], [[Словник термінів теорії графів|ребра]]

[[Топологія]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[Топологічний простір|топологічні простори]] та [[многовид]]и.

[[Лінійна алгебра]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[Скаляр|скаляри]], [[Вектор (математика)|вектори]], [[Матриця (математика)|матриці]], [[Тензор|тензори]].

[[Абстрактна алгебра]] (галузь математики) має такі об'єкти, як:
* [[Група (математика)|групи]],
* [[Кільце (алгебра)|кільця]], [[Модуль над кільцем|модулі]],
* [[Поле (алгебра)|поля]], [[Векторний простір|векторні простори]],
* [[Ґратка (група)|теоретично-групові ґратки]] та [[Ґратка (порядок)|теоретично-порядкові ґратки]].

[[Категорія (математика)|Категорії]]&nbsp;— це одночасно будинки для математичних об'єктів та математичні об'єкти самі по собі. У [[Теорія доведення|теорії доведення]] докази та [[Теорема|теореми]] також є математичними об'єктами.

[[Онтологія|Онтологічний]] статус математичних об'єктів був і є предметом багатьох досліджень і дискусій філософів математики.<ref>[[John P. Burgess|Burgess, John]], and Rosen, Gideon, 1997. ''A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Reconstrual of Mathematics''. [[Oxford University Press]]. {{isbn|0198236158}}</ref>

== Підхід Кантора ==
Один з поглядів, що виник на рубежі 20 століття у роботі [[Георг Кантор|Кантора]], полягає в тому, що всі математичні об'єкти можуть бути визначенні як множини. Множина {0,1} є відносно зрозумілим прикладом. На перший погляд [[Група (математика)|група]] '''Z'''<sub>2</sub> цілих чисел за модулем 2 також є множиною з двома елементами. Однак вона не може бути просто множиною {0,1}, бо ніяк не згадується додаткова структура, яка приписана до '''Z'''<sub>2</sub> з [[Операція (математика)|операціями]] [[додавання]] та [[Протилежне число|обернення]] за модулем 2: наприклад, як ми можемо сказати, яке з чисел 0 або 1 є [[Нульовий елемент|нульовим елементом]]? Щоб організувати цю групу як множину, її спочатку можна закодувати як [[Кортеж (інформатика)|четвірку]] ({0,1}, +, &minus;, 0), яка, в свою чергу, може бути закодована, використовуючи одну з домовленостей, наприклад, таку, що множина, яка представляє цю четвірку, пов'язана з кодуванням операцій + та &minus; та константи 0 як множин.

Множини можуть включати впорядковані позначення конкретних об'єктів та операцій, що застосовуються до них, із зазначенням групи, абелевої групи, кільця, поля чи іншого математичного об'єкта. Ці типи математичних об'єктів зазвичай вивчаються в [[Абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]].

== Засадничі парадокси ==
Якщо ж метою математичної онтології вважається внутрішня узгодженість математики, то більш важливо, щоб математичні об'єкти були визначені певним чином (наприклад, як множини), незалежно від фактичного застосування, щоб розкрити [[сутність]] їх [[Парадокс|парадоксів]]. Таке баченням основ математики, традиційно надає вищий [[Криза основ математики|пріоритет парадоксу]], ніж вірне зображення деталей математичної практики, як обґрунтування визначення математичних об'єктів, що вони повинні бути множинами.

Значну частину напруженості, створеної цим фундаментальним ототожненням математичних об'єктів з множинами, можна зняти без надмірної шкоди цілям основ, якщо допустити існування двох видів об'єктів у математичному всесвіті: множини та [[Бінарне відношення|відношення]]. Та не вимагати, щоб один з них розглядався лише як екземпляр іншого. Вони складають основу [[Теорія моделей|теорії моделей]] як {{Нп|Область дискурсу|області дискурсу|en|Domain of discourse}} [[Логіка першого порядку|логіки предикатів]]. З цього погляду математичні об'єкти&nbsp;— це сутності, що задовольняють [[Аксіома|аксіомам]] формальної теорії, вираженим мовою логіки предикатів.

== Теорія категорій ==
Один з варіантів такого підходу замінює відношення з [[Операція (математика)|операціями]], основами [[Універсальна алгебра|універсальної алгебри]]. У цьому варіанті аксіоми часто приймають форму [[Рівняння|рівнянь]] або [[Логічна імплікація|наслідків]] між рівняннями.

Більш абстрактним варіантом є [[теорія категорій]], яка відокремлює множини як об'єкти, а операції над ними як [[морфізм]]и між цими об'єктами. На цьому рівні абстракції математичні об'єкти зводяться до простих [[Вершина (геометрія)|вершин]] [[Граф (математика)|графу]], [[Ребро (геометрія)|ребра]] якого у вигляді морфізмів абстрагують способи перетворення цих об'єктів та структуру яких закодовано у [[Композиція функцій|законі композиції]] для морфізмів. [[Категорія (математика)|Категорії]] можуть виникати як моделі деякої аксіоматичної теорії та [[Гомоморфізм|гомоморфізмів]] між ними (у такому випадку вони зазвичай конкретні, тобто забезпечені [[Повні і унівалентні функтори|унівалентним]] [[Забутливий функтор|забутливим функтором]] у категорію [[Категорія множин|'''Set''']] або, загалом, до відповідного [[Топоси|топосу]]), або вони можуть бути побудовані з інших більш примітивних категорії, або вони можуть бути вивчені як абстрактні об'єкти самі по собі не залежно від їх [[Провенанс|походження]].

== Способи визначення ==
У сучасній математиці прийняті наступні домовленості:
# При визначенні об'єкта задаються його назву і перелік властивостей (зазвичай у вигляді списку аксіом).
# Будь-який математичний об'єкт, властивості якого [[Несуперечливість|несуперечливі]], вважається допустимим і існуючим.

Походження математичних об'єктів може бути різним.
* [[Ідеалізація]] реального об'єкта. Наприклад, математична [[куля]] є ідеалізація предмета круглої форми.
* Узагальнення або доповнення іншого математичного об'єкта. Наприклад, [[метричний простір]] можна розглядати як узагальнення [[евклідовий простір|евклідового простору]], а [[комплексні числа]]&nbsp;— як розширення системи [[Дійсні числа|дійсних чисел]].
* Виділення з іншого математичного об'єкта частини ([[Підмножина|підмножини]]), яка визначається заданими властивостями. Наприклад, [[алгебраїчні числа]] є підмножина [[Комплексні числа|комплексних чисел]].

== Див. також ==
* [[Абстрактне і конкретне]]
* [[Математичні структури]]
* [[Математична модель]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [[Стенфордська філософська енциклопедія]]: [http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects Abstract Objects] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211206140129/http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects |date=6 грудня 2021 }}, Stanford Encyclopedia of Philosophy {{ref-en}}
* ''Wells, Charles''. [https://web.archive.org/web/20081014205857/http://www.abstractmath.org/MM//MMMathObj.htm Mathematical Objects] {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20100717234001/http://theory.cs.uvic.ca/amof/ AMOF: The Amazing Mathematical Object Factory] {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20100611203942/http://www.math.cuhk.edu.hk/exhibit/ Mathematical Object Exhibit] {{ref-en}}

== Література ==
* [[Ніколя Бурбакі|''Бурбаки Н.'']] [http://px-pict.com/9/6/6/1/1.html Основные структуры анализа] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191025080807/http://px-pict.com/9/6/6/1/1.html |date=25 жовтня 2019 }}. Книга 1. Теория множеств. М.: Мир, 1965, стр. 317—325.
* {{книга |автор=[[Каганов Мойсей Ісакович|Каганов М. И.]], Любарский Г. Я.
  |заголовок=Абстракция в математике и физике |Видавництво=Физматлит |місто=М. |рік=2005 |сторінок=351 }}
* {{книга|автор={{Нп|Моріс Клайн|Клайн М.||Morris Kline}}|заголовок=Математика. Утрата определённости |Видавництво=Мир
  |місто=М.|рік=1984|сторінок=446 |посилання=https://web.archive.org/web/20070212044129/http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu}}
* Azzouni, J., 1994. ''Metaphysical Myths, Mathematical Practice''. Cambridge University Press.
* Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. ''A Subject with No Object''. Oxford Univ. Press.
* [[Philip J. Davis|Davis, Philip]] and [[Reuben Hersh]], 1999 [1981]. ''The Mathematical Experience''. Mariner Books: 156-62.
* [[Bonnie Gold|Gold, Bonnie]], and Simons, Roger A., 2011. ''[https://books.google.com/books?id=wPhwJdjI-dIC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22mathematical%20object%22&f=false Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211205051956/https://books.google.com/books?id=wPhwJdjI-dIC&printsec=frontcover#v=onepage&q=%22mathematical%20object%22&f=false |date=5 грудня 2021 }}''. Mathematical Association of America.
* Hersh, Reuben, 1997. ''What is Mathematics, Really?'' Oxford University Press.
* Sfard, A., 2000, "Symbolizing mathematical reality into being, Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other, " in Cobb, P., ''et al.'', ''Symbolizing and communicating in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools and instructional design''. Lawrence Erlbaum.
* [[Stewart Shapiro]], 2000. ''Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics''. Oxford University Press.

[[Категорія:Філософія математики]]
[[Категорія:Абстрактні поняття]]
[[Категорія:Математичні об'єкти| ]]