Перегляд вихідного коду сторінки Метод Гальоркіна

{{Диференціальні рівняння|Методи розв'язання}}
'''Метод Гальоркіна'''&nbsp;— [[чисельні методи|чисельний метод]] розв'язання [[диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]] з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею [[Математична фізика|математичної фізики]].

== Загальне формулювання ==

Нехай є диференціальне рівняння з деякими
крайовими умовами (першого роду)
:<math>\hat A [u(x)]=f(x)</math>,<math>a \le x \le b</math>, (1)
:<math>u(a)=\alpha</math>,<math>u(b)=\beta</math>.

Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми
:<math>u(x)\approx y_n(x)=\phi_0 (x)+ \sum_{k=1}^n \phi_k (x)*\alpha_k</math>, (2)
де
: <math>\phi_0 (x)</math> — деяка [[неперервна функція]], що задовільняє крайові умови (1),
: <math>\phi_k (x)</math>, <math>1 \le k < \infty </math>, якась система лінійно незалежних функцій, повна в класі неперервних функцій, що визначені на відрізку [a,b] і набувають нульових значень на його кінцях.

Якщо для функції <math>u(x)</math> вираз <math>\hat A [u(x)] - f(x) </math> є ортогональним до <math> \phi_k (x)</math> при <math> k \ge 1</math>, то <math>u(x)</math> — розв'язок задачі (1).

Якщо [[ортогональність]] є тільки при <math>1 \le k \le n</math>, то
:<math>\hat A [u(x)] \approx f(x) </math>.

Замість <math>u(x)</math> будемо брати наближений розв'язок у формі (2) і будемо вимагати, щоб
:<math>\int_{a}^{b}[\hat A[ y_n(x)]-f(x)] \phi_k (x)\, dx=0, 1 \le k \le n.</math>

== Застосування до квантової механіки ==

Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-
:<math>\hat H [u(x)]=Eu(x)</math> 
де H - оператор.

Саму функцію <math>u(x)</math> представляють у 
вигляді суми -
:<math>u(x)=\phi_0(x)+\sum_{i=1}^N \phi_i(x)\alpha_i</math>.

Метод дає нам саме коефіцієнти <math>\alpha_i</math>.

Розглянемо функції <math>\phi_i(x)</math> на [0,∞).
:<math>\int_{0}^{\infty} \phi_j(x)*\phi_i(x)\, dx=b_{j,i}</math>
Домножимо рівняння <math>H[u(x)]=Eu(x)</math> на <math>\phi_j(x)</math> і проінтегруємо, маємо -
:<math>\int_{0}^{\infty} \phi_j(x)*\hat H [u(x)]\, dx=\int_{0}^{\infty} \phi_j(x)*E*u(x)\, dx</math>
:<math>\sum_{i=1}^N \alpha_i \int_{0}^{\infty} \phi_j(x)*\hat H [\phi_i(x)]\, dx =\sum_{i=1}^N b_{j,i}*E\alpha_i</math>.<br />

Введемо наступне позначення -<br />
:<math>\phi_{j,i}=\int_{0}^{\infty} \phi_j(x)*\hat H [\phi_i(x)]\, dx</math>.<br />

Маємо систему лінійних рівнянь -<br />
:<math>\sum_{i=1}^N \alpha_i [\phi_{j,i}-E*b_{j,i}]=0</math>.<br />

Яка розв'язується за умови -<br />
:<math>\det[\phi_{j,i}-E*b_{j,i}]=0, j=1,N</math>.<br />

== Посилання ==
* [http://mathworld.wolfram.com/GalerkinMethod.html MathWorld: Galerkin Method]
* [https://web.archive.org/web/20061009232045/http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/097/114.htm Метод Галеркіна]
* [http://mat.net.ua/mat/Kalinkin-Chislennie-metodi.htm Н.Н.Каліткін "Численные методы" стор. 273]
{{Math-stub}}

{{ЧМ для PDE}}

[[Категорія:Чисельні методи]]